Hàm số logarit

– Hàm số logarit cơ số $a$ là hàm số có dạng $y=lo{g}_{a}xleft(0<ane1right$).

– Hàm số logarit có đạo hàm tại $forallx>0$ và $y^{\prime }=left({log}_{a}xright$’ = dfrac{1}{{xln a}})

$đặcbiệt(left(lnxright$’ = dfrac{1}{x}) )

– Giới hạn liên quan $mathoplimlimit{s}_{xto0}dfraclnleft(1+xright)x=1$.

– Đạo hàm: $y=lo{g}_{a}xRightarrow{y}^{\prime }=left({log}_{a}xright$’ = dfrac{1}{{xln a}};y = {log _a}uleft$xright$ Rightarrow y’ = dfrac{{u’left$xright$}}{{uleft$xright$ln a}})

$đặcbiệt(left(lnxright$’ = dfrac{1}{x}) )

Khảo sát $y=lo{g}_{a}x$:

– TXĐ: $D=left(0;+inftyright$)

– Chiều biến thiên:

+ Nếu $a>1$ thì hàm đồng biến trên $left(0;+inftyright$).

+ Nếu $0<a<1$ thì hàm nghịch biến trên $left(0;+inftyright$).

– Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.

+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $left(1;0right$) và $left(a;1right$).

+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì $x>0$.

+ Dáng đồ thị:

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số $lo{g}_{a}left(uleft(xright)right$) xác định (left{ begin{array}{l}a > 0\uleft$xright$ > 0end{array} right.)

– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…$nếucó$.

+ Căn bậc hai $sqrtuleft(xright)$ xác định nếu $uleft(xright$ ge 0).

+ Phân thức $dfraculeft(xright)vleft(xright)$ xác định nếu $gleft(xright$ ne 0).

– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

$left(upmvright$’ = u’ pm v’;left$uvright$’ = u’v + uv’;left$dfracuvright$’ = dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}})

– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

– Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

 $mathoplimlimit{s}_{xto0}dfraclnleft(1+xright)x=1$ ; $mathoplimlimit{s}_{xto0}dfrac{log}_{a}left(1+xright)x=dfrac1lna$

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$, tìm các nghiệm $x_1,x_2,\dots ,x_{n}inleft[a;bright]$ của phương trình $y^{\prime }=0$.

– Bước 2: Tính $fleft(aright$,fleft$bright$,fleft$x_{1}right$,…,fleft$x_{n}right$).

– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.