1. Hàm số logarit
– Hàm số logarit cơ số (a) là hàm số có dạng (y = {log _a}xleft( {0 < a ne 1} right)).
– Hàm số logarit có đạo hàm tại (forall x > 0) và (y’ = left( {{{log }_a}x} right)’ = dfrac{1}{{xln a}})
(đặc biệt (left( {ln x} right)’ = dfrac{1}{x}) )
– Giới hạn liên quan (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{ln left( {1 + x} right)}}{x} = 1).
– Đạo hàm: (y = {log _a}x Rightarrow y’ = left( {{{log }_a}x} right)’ = dfrac{1}{{xln a}};y = {log _a}uleft( x right) Rightarrow y’ = dfrac{{u’left( x right)}}{{uleft( x right)ln a}})
(đặc biệt (left( {ln x} right)’ = dfrac{1}{x}) )
Khảo sát (y = {log _a}x):
– TXĐ: (D = left( {0; + infty } right))
– Chiều biến thiên:
+ Nếu (a > 1) thì hàm đồng biến trên (left( {0; + infty } right)).
+ Nếu (0 < a < 1) thì hàm nghịch biến trên (left( {0; + infty } right)).
– Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng (x = 0).
+ Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (left( {1;0} right)) và (left( {a;1} right)).
+ Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung vì (x > 0).
+ Dáng đồ thị:
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.
Hàm số ({log _a}left( {uleft( x right)} right)) xác định (left{ begin{array}{l}a > 0\uleft( x right) > 0end{array} right.)
– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).
+ Căn bậc hai (sqrt {uleft( x right)} ) xác định nếu (uleft( x right) ge 0).
+ Phân thức (dfrac{{uleft( x right)}}{{vleft( x right)}}) xác định nếu (gleft( x right) ne 0).
– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn (1).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn (0) và nhỏ hơn (1).
– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…
Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.
(left( {u pm v} right)’ = u’ pm v’;left( {uv} right)’ = u’v + uv’;left( {dfrac{u}{v}} right)’ = dfrac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}})
– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…
– Bước 3: Tính toán và kết luận.
Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:
(mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{ln left( {1 + x} right)}}{x} = 1) ; (mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{{{log }_a}left( {1 + x} right)}}{x} = dfrac{1}{{ln a}})
Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính (y’), tìm các nghiệm ({x_1},{x_2},…,{x_n} in left[ {a;b} right]) của phương trình (y’ = 0).
– Bước 2: Tính (fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x_1}} right),…,fleft( {{x_n}} right)).
– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.
+ GTNN (m) là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.
+ GTLN (M) là số lớn nhất trong các giá trị tính được.
