1. Dãy số có giới hạn 0
Định nghĩa: Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn (0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết: (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n}} right) = 0), viết tắt là (lim left( {{u_n}} right) = 0) hoặc (lim {u_n} = 0).
Một số dãy số có giới hạn (0) thường gặp:
(lim dfrac{1}{n} = 0,lim dfrac{1}{{sqrt n }} = 0,lim dfrac{1}{{sqrt[3]{n}}} = 0,..)
Định lý 1: Cho hai dãy số (left( {{u_n}} right)) và (left( {{v_n}} right)). Nếu (left| {{u_n}} right| le {v_n}) với mọi (n) và (lim {v_n} = 0) thì (lim {u_n} = 0).
Định lý 2: Nếu (left| q right| < 1) thì (lim {q^n} = 0).
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là số thực (L) nếu (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n} – L} right) = 0).
Khi đó, ta viết: (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n}} right) = L), viết tắt là (lim left( {{u_n}} right) = L) hoặc (lim {u_n} = L).
Định lý 1: Giả sử (lim {u_n} = L). Khi đó:
i) (lim left| {{u_n}} right| = left| L right|) và (lim sqrt[3]{{{u_n}}} = sqrt[3]{L}).
ii) Nếu ({u_n} ge 0) với mọi (n) thì (L ge 0) và (lim sqrt {{u_n}} = sqrt L )
Định lý 2: Giả sử (lim {u_n} = L,lim {v_n} = M) và (c) là một hằng số. Khi đó:
i) Các dãy số (left( {{u_n} + {v_n}} right),left( {{u_n} – {v_n}} right),left( {{u_n}.{v_n}} right)) và (left( {c.{u_n}} right)) có giới hạn là:
+) (lim left( {{u_n} + {v_n}} right) = L + M)
+) (lim left( {{u_n} – {v_n}} right) = L – M)
+) (lim left( {{u_n}.{v_n}} right) = L.M)
+) (lim left( {c.{u_n}} right) = c.L)
ii) Nếu (M ne 0) thì dãy số (left( {dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} right)) có giới hạn là (lim dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = dfrac{L}{M}).
3. Dãy số có giới hạn vô cực
Định nghĩa:
a) Dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn ( + infty ) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n}} right) = + infty ), viết tắt là (lim left( {{u_n}} right) = + infty ) hoặc (lim {u_n} = + infty ).
b) Dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn ( – infty ) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n}} right) = – infty ), viết tắt là (lim left( {{u_n}} right) = – infty ) hoặc (lim {u_n} = – infty ).
Nhận xét:
i) (lim n = + infty ,lim sqrt n = + infty ,) (lim sqrt[3]{n} = + infty )
ii) Nếu (lim {u_n} = – infty ) thì (lim left( { – {u_n}} right) = + infty )
Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:
