Giới hạn của dãy số

1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: Ta nói dãy số $left(u_{n}right$) có giới hạn $0$ nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: $mathoplimlimit{s}_{nto+infty}left(u_{n}right$ = 0), viết tắt là $limleft(u_{n}right$ = 0) hoặc $lim{u}_n=0$.

Một số dãy số có giới hạn $0$ thường gặp:

$limdfrac1n=0,limdfrac1sqrtn=0,limdfrac1sqrt[3]n=0,..$

Định lý 1: Cho hai dãy số $left(u_{n}right$) và $left(v_{n}right$). Nếu $left|u_{n}right|le{v}_n$ với mọi $n$ và $lim{v}_n=0$ thì $lim{u}_n=0$.

Định lý 2: Nếu $left|qright|<1$ thì $lim{q}^n=0$.

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói dãy số $left(u_{n}right$) có giới hạn là số thực $L$ nếu $mathoplimlimit{s}_{nto+infty}left(u_n–Lright$ = 0).

Khi đó, ta viết: $mathoplimlimit{s}_{nto+infty}left(u_{n}right$ = L), viết tắt là $limleft(u_{n}right$ = L) hoặc $lim{u}_n=L$.

Định lý 1: Giả sử $lim{u}_n=L$. Khi đó:

i) $limleft|u_{n}right|=left|Lright|$ và $limsqrt[3]u_n=sqrt[3]L$.

ii) Nếu $u_{n}ge0$ với mọi $n$ thì $Lge0$ và $limsqrt{u}_n=sqrtL$

Định lý 2: Giả sử $lim{u}_n=L,lim{v}_n=M$ và $c$ là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số $left(u_n+v_{n}right$,left$u_n–v_{n}right$,left$u_n.v_{n}right$) và $left(c.u_{n}right$) có giới hạn là:

+) $limleft(u_n+v_{n}right$ = L + M)

+) $limleft(u_n–v_{n}right$ = L – M)

+) $limleft(u_n.v_{n}right$ = L.M)

+) $limleft(c.u_{n}right$ = c.L)

ii) Nếu $Mne0$ thì dãy số $left(dfrac{u}_n{v}_{n}right$) có giới hạn là $limdfrac{u}_n{v}_n=dfracLM$.

3. Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

a) Dãy số $left(u_{n}right$) có giới hạn $+infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết $mathoplimlimit{s}_{nto+infty}left(u_{n}right$ =  + infty ), viết tắt là $limleft(u_{n}right$ =  + infty ) hoặc $lim{u}_n=+infty$.

b) Dãy số $left(u_{n}right$) có giới hạn $–infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết $mathoplimlimit{s}_{nto+infty}left(u_{n}right$ =  – infty ), viết tắt là $limleft(u_{n}right$ =  – infty ) hoặc $lim{u}_n=–infty$.

Nhận xét:

i) $limn=+infty,limsqrtn=+infty,$ $limsqrt[3]n=+infty$

ii) Nếu $lim{u}_n=–infty$ thì $limleft(–u_{n}right$ = + infty )