1. Hàm số tuần hoàn
Hàm số (y = fleft( x right)) có TXĐ (D) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số (T ne 0) sao cho:
a) (forall x in D) đều có (x – T in D,x + T in D).
b) (forall x in D) đều có (fleft( {x + T} right) = fleft( x right)).
Số (T > 0) nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn (y = fleft( x right)).
2. Các hàm số lượng giác
a) Hàm số (y = sin x)
– Có TXĐ (D = R), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì (2pi ), nhận mọi giá trị thuộc đoạn (left[ { – 1;1} right]).
– Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – dfrac{pi }{2} + k2pi ;dfrac{pi }{2} + k2pi } right)) và nghịch biến trên mỗi khoảng (left( {dfrac{pi }{2} + k2pi ;dfrac{{3pi }}{2} + k2pi } right)).
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm (Oleft( {0;0} right))
b) Hàm số (y = cos x)
– Có TXĐ (D = R), là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì (2pi ), nhận mọi giá trị thuộc đoạn (left[ { – 1;1} right]).
– Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – pi + k2pi ;k2pi } right)) và nghịch biến trên mỗi khoảng (left( {k2pi ;pi + k2pi } right))
– Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm (left( {0;1} right))
c) Hàm số (y = tan x)
– Có TXĐ (D = Rbackslash left{ {dfrac{pi }{2} + kpi ,k in Z} right}), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì (pi ), nhận mọi giá trị thuộc (R).
– Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – dfrac{pi }{2} + kpi ;dfrac{pi }{2} + kpi } right)).
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng (x = dfrac{pi }{2} + kpi ) làm đường tiệm cận.
d) Hàm số (y = cot x)
– Có TXĐ (D = Rbackslash left{ {kpi ,k in Z} right}), là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì (pi ), nhận mọi giá trị thuộc (R).
– Nghịch biến trên mỗi khoảng (left( {kpi ;pi + kpi } right)).
– Đồ thị nhận mỗi đường thẳng (x = kpi ) làm đường tiệm cận.
3. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện xác định của các hàm phân thức, hàm căn bậc, hàm lượng giác (tan, cot).
– Hàm số (y = sqrt {fleft( x right)} ) xác định nếu (fleft( x right) ge 0).
– Hàm số (y = dfrac{1}{{fleft( x right)}}) xác định nếu (fleft( x right) ne 0).
– Hàm số (y = tan uleft( x right)) xác định nếu (cos uleft( x right) ne 0 Leftrightarrow uleft( x right) ne dfrac{pi }{2} + kpi ).
– Hàm số (y = cot uleft( x right)) xác định nếu (sin uleft( x right) ne 0 Leftrightarrow uleft( x right) ne kpi ).
Dạng 2: Tìm chu kì của hàm số.
– Hàm số (y = sin left( {ax + b} right),y = cos left( {ax + b} right)) tuần hoàn với chu kỳ (T = dfrac{{2pi }}{{left| a right|}}).
– Hàm số (y = tan left( {ax + b} right),y = cot left( {ax + b} right)) tuần hoàn với chu kỳ (T = dfrac{pi }{{left| a right|}}).
– Hàm số (y = {f_1}left( x right),y = {f_2}left( x right)) lần lượt có chu kỳ ({T_1},{T_2}) thì hàm số (y = {f_1}left( x right) pm {f_2}left( x right)) có chu kỳ ({T_0} = BCNNleft( {{T_1},{T_2}} right))
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác.
Phương pháp:
Sử dụng các đánh giá ( – 1 le sin x le 1; – 1 le cos x le 1) để đánh giá tập giá trị của hàm số.
