1. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
2. Bất đẳng thức Cô – si
a) Với $forall a ge 0;{rm{ }}b ge 0$ thì ta có: $dfrac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab} .$
Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$
b) Với $forall a ge 0;{rm{ }}b ge 0;{rm{ }}c ge 0$ thì ta có: $dfrac{{a + b + c}}{3} ge sqrt
Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$
3. Bất đẳng thức Bunhia – Copxki
a) $forall x;{rm{ }}y;{rm{ }}a;{rm{ }}b in mathbb{R}$ thì:
+) ${
+) $left| {a.x + b.y} right| le sqrt {
Dấu $” = ”$ xảy ra khi $dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b},{rm{ }}
b) $forall x;{rm{ }}y;{rm{ }}z;{rm{ }}a;{rm{ }}b;{rm{ }}c in mathbb{R}$ thì:
+) ${
+) $left| {a.x + b.y + c.z} right| $ $le sqrt {
Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{z}{c}
4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a) Với
b) Với
+) $left| x right| le a Leftrightarrow – a le x le a$.
+) $left| x right| ge a Leftrightarrow x le – a$ hoặc $x ge a$
c) Với