Bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy)

a) Với $forall a ge 0;{rm{ }}b ge 0$ thì ta có: $dfrac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab} .$

Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$

b) Với $forall a ge 0;{rm{ }}b ge 0;{rm{ }}c ge 0$ thì ta có: $dfrac{{a + b + c}}{3} ge sqrt[3]{{abc}}.$

Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c.$

3. Bất đẳng thức Bunhia – Copxki (Cauchy Schwarz)

a) $forall x;{rm{ }}y;{rm{ }}a;{rm{ }}b in mathbb{R}$ thì:

+) ${(a.x + b.y)^2} le ({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})$

+) $left| {a.x + b.y} right| le sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} cdot$

Dấu $” = ”$ xảy ra khi $dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b},{rm{ }}(a;{rm{ }}b ne 0).$

b) $forall x;{rm{ }}y;{rm{ }}z;{rm{ }}a;{rm{ }}b;{rm{ }}c in mathbb{R}$ thì:

+) ${(a.x + b.y + c.z)^2}$ $le ({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})$

+) $left| {a.x + b.y + c.z} right| $ $le sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({x^2} + {y^2} + {z^2})}$

Dấu $” = ”$ xảy ra khi và chỉ khi $dfrac{x}{a} = dfrac{y}{b} = dfrac{z}{c}(a;b;c ne 0).$

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Với (forall x in R) ta có: (left| x right| ge 0,left| x right| ge x,left| x right| ge – x)

b) Với (a > 0) thì:

+) $left| x right| le a Leftrightarrow  – a le x le a$.

+) $left| x right| ge a Leftrightarrow x le  – a$ hoặc $x ge a$

c) Với (a,b in R) thì $left| a right| – left| b right| le left| {a + b} right| le left| a right| + left| b right|$