PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 05
Đại số 8 : §6: Phân tích đa thức thành nhân tử (PP nhân tử chung)
Hình học 8: § 6: Đối xứng trục
Bài 1: Chứng minh các đa thức sau luôn âm với mọi $x$
- $-{{x}^{2}}+6x-15$ c) $(x-3)(1-x)-2$
b) $-9{{x}^{2}}+24x-18$ d) $(x+4)(2-x)-10$
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ${{x}^{2}}yz-{{x}^{3}}{{y}^{3}}z+xy{{z}^{2}}$ b) $4{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x{{y}^{2}}$
c) ${{x}^{2}}left( m+n right)-3{{y}^{2}}left( m+n right)$ d) $4{{x}^{2}}left( x-y right)+9{{y}^{2}}left( y-x right)$
e) ${{x}^{2}}left( a-b right)+2left( b-a right)$ f) $10{{x}^{2}}{{left( a-2b right)}^{2}}-left( {{x}^{2}}+2 right){{left( 2b-a right)}^{2}}$
g) $50{{x}^{2}}{{left( x-y right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{left( y-x right)}^{2}}$ h) $15{{a}^{m+2}}b-45{{a}^{m}}b$ $left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$
Bài 3: Cho $Delta ABC$ có các đường phân giác BD; CE cắt nhau tại O. Qua A vẽ các đường vuông góc với BD và CE, chúng cắt BC theo thứ tự tại N và M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua OH.
Bài 4: Cho $Delta ABC$ nhọn có $widehat{A}=70{}^circ $và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cắt AB, AC theo thứ tự M ; N.
- Tính các góc của $Delta AEF$
- Chứng minh rằng DA là tia phân giác của $widehat{MDN}$
- Tìm vị trí của điểm D trên cạnh BC để $Delta DMN$ có chu vi nhỏ nhất.
– Hết –
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
- $-{{x}^{2}}+6x-15=-({{x}^{2}}-6x+9)-6=-{{(x-3)}^{2}}-6$
Vì $-{{left( x-3 right)}^{2}}le 0forall xto -{{left( x-3 right)}^{2}}-6le -6<0forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $-9{{x}^{2}}+24x-18=-(9{{x}^{2}}-24x+16)-2=-{{(3x-4)}^{2}}-2$
Vì $-{{left( 3x-4 right)}^{2}}le 0forall xto -{{left( 3x-4 right)}^{2}}-2le -2<0forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $(x-3)(1-x)-2=x-{{x}^{2}}-3+3x-2=-{{x}^{2}}+4x-4-1=-{{(x-2)}^{2}}-1$
Vì $-{{left( x-2 right)}^{2}}le 0forall xto -{{left( x-2 right)}^{2}}-1le -1<0forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $(x+4)(2-x)-10=2x-{{x}^{2}}+8-4x-10=-{{x}^{2}}-2x-1-1=-{{(x+1)}^{2}}-1$
Vì $-{{left( x+1 right)}^{2}}le 0forall xto -{{left( x+1 right)}^{2}}-1le -1<0forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
Bài 2:
|
a) ${{x}^{2}}yz-{{x}^{3}}{{y}^{3}}z+xy{{z}^{2}}$ $=xyzleft( x-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+z right)$ |
b) $4{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x{{y}^{2}}$ $=4xleft( {{x}^{2}}+6x-3{{y}^{2}} right)$ |
|
c) ${{x}^{2}}left( m+n right)-3{{y}^{2}}left( m+n right)$ $=left( m+n right)left( {{x}^{2}}-3{{y}^{2}} right)$ $=left( m+n right)left( x-sqrt{3}y right)left( x+sqrt{3}y right)$
|
d) $4{{x}^{2}}left( x-y right)+9{{y}^{2}}left( y-x right)$ $=4{{x}^{2}}left( x-y right)-9{{y}^{2}}left( x-y right)$ $=left( x-y right)left( 4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}} right)$ $=left( x-y right)left( 2x-3y right)left( 2x+3y right)$ |
|
e) ${{x}^{2}}left( a-b right)+2left( b-a right)$ $={{x}^{2}}left( a-b right)-2left( a-b right)$ $=left( a-b right)left( {{x}^{2}}-2 right)$ $=left( a-b right)left( x-sqrt{2} right)left( x+sqrt{2} right)$ |
f) $10{{x}^{2}}{{left( a-2b right)}^{2}}-left( {{x}^{2}}+2 right){{left( 2b-a right)}^{2}}$$=10{{x}^{2}}{{left( a-2b right)}^{2}}-left( {{x}^{2}}+2 right){{left( a-2b right)}^{2}}$ $={{left( a-2b right)}^{2}}left( 10{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-2 right)$ $={{left( a-2b right)}^{2}}left( 9{{x}^{2}}-2 right)$ $={{left( a-2b right)}^{2}}left( 3x-sqrt{2} right)left( 3x+sqrt{2} right)$ |
|
g) $50{{x}^{2}}{{left( x-y right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{left( y-x right)}^{2}}$$=50{{x}^{2}}{{left( x-y right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{left( x-y right)}^{2}}$ $={{left( x-y right)}^{2}}left( 50{{x}^{2}}-8{{y}^{2}} right)$ $=2{{left( x-y right)}^{2}}left( 25{{x}^{2}}-4{{y}^{2}} right)$ $=2{{left( x-y right)}^{2}}left( 5x-2y right)left( 5x+2y right)$ |
h) $15{{a}^{m+2}}b-45{{a}^{m}}b$ $left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$ $=15{{a}^{m}}.{{a}^{2}}b-45{{a}^{m}}b$ $left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$ $=15{{a}^{m}}bleft( {{a}^{2}}-3 right)$ $left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$ $=15{{a}^{m}}bleft( a-sqrt{3} right)left( a+sqrt{3} right)$ $left( min {{mathbb{N}}^{*}} right)$.
|
Bài 3
Xét $Delta AMC$ có CE vừa là phân giác vừa là đường cao nên $Delta AMC$ cân tại C (t/c) suy ra CE là trung trực của AM.
Có $Oin CERightarrow $ O nằm trên đường trung trực của AM$Rightarrow OA=OM(t/c)$ (1)
Xét $Delta ABN$ có BD vừa là phân giác vừa là đường cao nên $Delta ABN$ cân tại B (t/c) suy ra BD là trung trực của AN.
Từ (1); (2) suy ra OM = ON.Có $Oin BDRightarrow $ O nằm trên đường trung trực của AN$Rightarrow OA=ON(t/c)$ (2)
Xét $Delta OMN$có OM = ON (cmt) suy ra $Delta OMN$cân (đ/l)
$OHbot BCRightarrow $ OH là đường cao đồng thời là đường trung trực của MN suy ra M và N đối xứng với nhau qua OH.
Bài 4:
a)
Gọi $DE,DF$lần lượt cắt $AB,AC$ tại $P,Q$
+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có $PE=PD,DEbot AB$
Xét $Delta AEP$ và $Delta ADP$có:
$AP$ chung
$begin{array}{l}
widehat {APE} = widehat {APD}left( { = {{90}^0}} right)\
PE = PDleft( {cmt} right)
end{array}$
$Rightarrow Delta APE=Delta APDleft( c.g.c right)$
$Rightarrow widehat{EAP}=widehat{DAP}$(hai góc tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có: $widehat{FAQ}=widehat{DAQ}$
+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có:
$AE=AD,AD=text{AF}Rightarrow text{AE = AF}Rightarrow Delta AEF$cân tại $A$ $Rightarrow widehat{AEF}=widehat{text{AF}E}=frac{{{180}^{0}}-{{140}^{0}}}{2}={{20}^{0}}$.
b)
+ Dễ chứng minh được:
$Delta MEP=Delta MDPleft( c.g.c right)Rightarrow widehat{MEP}=widehat{MDP}$
Ta có:
$begin{array}{l}
widehat {AEP} = widehat {AEM} + widehat {MEP}\
widehat {ADP} = widehat {ADM} + widehat {MDP}
end{array}$
Mà $widehat{AEP}=widehat{ADP}left( cmt right)$
$widehat{MEP}=widehat{MDP}$(cmt)
$Rightarrow widehat{AEM}=widehat{ADM}$
Chứng minh tương tự ta có: $widehat{text{AF}N}=widehat{ADN}$
Mà $widehat{AEM}=widehat{text{AF}N}left( cmt right)$ $Rightarrow widehat{ADM}=widehat{ADN}$
$Rightarrow DA$ là tia phân giác của $widehat{MDN}.$
c) ${{P}_{DMN}}=DM+DN+MN=EM+FN+MN=text{EF}$
Nên ${{P}_{DMN}}min Leftrightarrow text{EF},text{min}$
Theo tính chất đối xứng trục, ta có:
$AD=AE=AF$, $widehat{EAF}=2widehat{BAD}+2widehat{DAC}=2widehat{BAC}<2.90{}^circ =180{}^circ $
Như vậy, $Delta AEF$ cân tại $A$, $widehat{EAF}=2widehat{BAC}$ (không đổi) và cạnh bên có độ dài thay đổi bằng $AD$.
Cạnh đáy $text{EF}$ min khi cạnh bên $AD$ có độ dài ngắn nhất, tức $ADbot BC$, nghĩa là $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ của $Delta ABC$
– Hết –
