Câu 31. Hàm số $Fleft( x right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=frac{1}{x}$ trên $left( -infty ;0 right)$ thỏa mãn $Fleft( -2 right)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $Fleft( x right)=ln {{left( frac{-x}{2} right)}^{{}}}forall xin left( -infty ;0 right)$
B. $Fleft( x right)=ln left| x right|+C{}_{{}}forall xin left( -infty ;0 right)$ với $C$ là một số thực bất kì.
C. $Fleft( x right)=ln left| x right|+ln 2,,forall xin left( -infty ;0 right)$.
D. $Fleft( x right)=ln left( -x right)+C{}_{{}}forall xin left( -infty ;0 right)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Lời giải
Tác giả : Lê Đình Năng, FB: Lê Năng
Chọn A
Ta có $Fleft( x right)=int{frac{1}{x}text{d}x}=ln left| x right|+C=ln left( -x right)+C$ với $forall xin left( -infty ;0 right)$.
Lại có $Fleft( -2 right)=0Leftrightarrow ln 2+C=0Leftrightarrow C=-ln 2$. Do đó $Fleft( x right)=ln left( -x right)-ln 2=ln left( frac{-x}{2} right)$.
Vậy $Fleft( x right)=ln {{left( frac{-x}{2} right)}^{{}}}forall xin left( -infty ;0 right)$.
Câu 32. Nếu ${{log }_{3}}5=a$ thì ${{log }_{45}}75$ bằng
A. $frac{2+a}{1+2a}$. B. $frac{1+a}{2+a}$.
C. $frac{1+2a}{2+a}$. D. $frac{1+2a}{1+a}$.
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyet Le
Chọn C
Ta có ${{log }_{45}}75=2.{{log }_{45}}5+{{log }_{45}}3$ .
Và ${{log }_{45}}5=frac{1}{{{log }_{5}}45}=frac{1}{2{{log }_{5}}3+1}=frac{1}{frac{2}{a}+1}=frac{a}{a+2};{{log }_{45}}3=frac{1}{{{log }_{3}}45}=frac{1}{2+{{log }_{3}}5}=frac{1}{a+2}$ .
Do đó ${{log }_{45}}75=frac{2a}{a+2}+frac{1}{a+2}=frac{1+2a}{2+a}$.
Câu 33. Nếu một hình nón có diện tích xung quanh gấp đôi diện tích của hình tròn đáy thì góc ở đỉnh của hình nón bằng
A. $15{}^circ $. B. $60{}^circ $.
C. $30{}^circ $. D. $120{}^circ $.
Lời giải
Tác giả: Thành Nguyễn; Fb: Thành Nguyễn
Chọn B
Ta có: ${{S}_{xq}}=2{{S}_{d}}Leftrightarrow pi rl=2pi {{r}^{2}}Leftrightarrow l=2r$.
Suy ra tam giác $SAB$ đều. Vậy góc ở đỉnh của hình nón là $widehat{ASB}=60{}^circ $.
Câu 34. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $Mleft( a,;,b,;,c right)$. Tọa độ của véc-tơ $overrightarrow{MO}$ là
A. $left( a,;,b,;,c right)$. B. $left( -a,;,b,;,c right)$.
C. $left( -a,;,-b,;,-c right)$. D. $left( -a,;,b,;,-c right)$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Bình; Fb: Phạm An Bình
Chọn C
Ta có $overrightarrow{MO}=left( {{x}_{O}}-{{x}_{M}},;,{{y}_{O}}-{{y}_{M}},;,{{z}_{O}}-{{z}_{M}} right)=left( -a,;,-b,;,-c right)$.
Câu 35. Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Xác suất của biến cố “hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau” là:
A. $frac{3}{5}$. B. $frac{2}{5}$.
C. $frac{1}{5}$. D. $frac{4}{5}$
Lời giải
Tác giả Fb:linhnguyen
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: $nleft( Omega right)=5!$
Gọi A:”Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau”
Thì $overline{A}$:”Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau”
Xếp An và Bình ngồi cạnh nhau coi như 1 phần tử
- Xếp 1 phần tử (An+Bình) và 3 bạn còn lại theo các thứ tự khác nhau có: 4! Cách
- Xếp 2 học sinh An và Bình ngồi cạnh nhau có 2! cách
Suy ra $nleft( overline{A} right)text{=4!}text{.2!}Rightarrow text{P}left( overline{text{A}} right)text{=}frac{text{4!}text{.2!}}{text{5!}}=frac{2}{5}Rightarrow Pleft( A right)=frac{3}{5}$.
Câu 36. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB=c,AC=b$. Quay tam giác $ABC$ xung quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ ta được một hình nón có thể tích bằng
A. $frac{1}{3}pi b{{c}^{2}}$. B. $frac{1}{3}b{{c}^{2}}$.
C. $frac{1}{3}{{b}^{2}}c$. D. $frac{1}{3}pi {{b}^{2}}c$.
Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: Trung Kien Ta
Chọn D
$V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{b}^{2}}c$.
Câu 37. Cho hàm số $fleft( x right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{1}{2fleft( x right)-1}$ là
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. 3.
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Quyết ; Fb:Lê Văn Quyết
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có $underset{xto +infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto -infty }{mathop{lim }},fleft( x right)=1$.
Do đó $underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=1$. Vậy đồ thị hàm số $y=frac{1}{2fleft( x right)-1}$ có 1 đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Ta có $2fleft( x right) – 1 = 0 Leftrightarrow fleft( x right) = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = a{mkern 1mu} \
x = b
end{array} right.$, trong đó $2fleft( x right) – 1 = 0 Leftrightarrow fleft( x right) = frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = a{mkern 1mu} \
x = b
end{array} right.$
$underset{xto {{a}^{+}}}{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=+infty$, $underset{xto {{a}^{-}}}{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=-infty$ và $underset{xto {{b}^{+}}}{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=-infty$, $underset{xto {{b}^{-}}}{mathop{lim }},frac{1}{2fleft( x right)-1}=+infty$.
Vậy đồ thị hàm số $y=frac{1}{2fleft( x right)-1}$ có 2 đường tiệm cận ngang là đường thẳng $x=a$ và đường thẳng $x=b$.
Kết luận: Đồ thị hàm số $y=frac{1}{2fleft( x right)-1}$ có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 38. Trong không gian $Oxyz$, cho $overrightarrow{a}=left( 1;2;-3 right)$, $overrightarrow{b}=left( -2;-4;6 right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $overrightarrow{a}=2overrightarrow{b}$. B. $overrightarrow{b}=-2overrightarrow{a}$.
C. $overrightarrow{a}=-2overrightarrow{b}$. D. $overrightarrow{b}=2overrightarrow{a}$.
Lời giải
Tác giả:Trần Đình Thái ; Fb:Đình Tháii
Chọn B
Ta có $-2=-2.1;-4=-2.2;6=-2.left( -3 right)$suy ra $overrightarrow{b}=-2overrightarrow{a}$.
Câu 39. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ góc giữa hai vectơ $overrightarrow{i}$ và $overrightarrow{u}=left( -sqrt{3};,0;,1 right)$ là
A. $120{}^circ $. B. $30{}^circ $.
C. $60{}^circ $. D. $150{}^circ $.
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Dương ; Fb: duong.van.581187
Chọn D
Ta có $overrightarrow{i}=left( 1;0;0 right)$
$Rightarrow $$cos left( overrightarrow{u},overrightarrow{i} right)=frac{overrightarrow{u}.overrightarrow{i}}{left| overrightarrow{u} right|.left| overrightarrow{i} right|}=frac{-sqrt{3}}{2}$. Vậy $left( overrightarrow{u},overrightarrow{i} right)=150{}^circ $.
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có $Aleft( 0;0;0 right)$, $Bleft( a;0;0 right)$; $Dleft( 0;2a;0 right)$, ${A}’left( 0;0;2a right)$ với $ane 0$. Độ dài đoạn thẳng $A{C}’$ là
A. $left| a right|$. B. $2left| a right|$.
C. $3left| a right|$. D. $frac{3}{2}left| a right|$.
Lời giải
Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật
Chọn C
Ta có $overrightarrow{AB}=left( a;0;0 right)$; $overrightarrow{AD}=left( 0;2a;0 right)$; $overrightarrow{A{A}’}=left( 0;0;2a right)$.
Theo quy tắc hình hộp ta có $overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{A{A}’}=overrightarrow{A{C}’}$$Leftrightarrow overrightarrow{A{C}’}=left( a;2a;2a right)$.
Suy ra $AC=left| overrightarrow{AC} right|$$=sqrt{{{a}^{2}}+{{left( 2a right)}^{2}}+{{left( 2a right)}^{2}}}=3left| a right|$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $A{C}’=3left| a right|$.
Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ với $ABC$ không là tam giác cân. Góc giữa các đường thẳng $SA,SB,SC$ và mặt phẳng $left( ABC right)$ bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên mặt phẳng $left( ABC right)$ là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
B. Trực tâm của tam giác $ABC$.
C. Trọng tâm của tam giác $ABC$.
D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:[email protected]
Chọn A
Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $left( ABC right)$, ta có
$begin{align}
& left( SA,left( ABC right) right)=widehat{SAH} \
& left( SB,left( ABC right) right)=widehat{SBH} \
& left( SC,left( ABC right) right)=widehat{SCH} \
end{align}$
Từ giả thiết suy ra $widehat{SAH}=widehat{SBH}=widehat{SCH}Rightarrow Delta SAH=Delta SBH=Delta SCHRightarrow HA=HB=HC$
Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Câu 42. Cho hình chóp $O.ABC$ có $OAtext{ }=text{ }OBtext{ }=text{ }OCtext{ }=text{ }a$ ,$widehat{AOB}=60{}^circ $, $widehat{BOC}=90{}^circ $, $widehat{AOC}=120{}^circ $. Gọi $S$ là trung điểm cạnh $OB$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $frac{a}{4}$ B. $frac{asqrt{7}}{4}$
C. $frac{asqrt{7}}{2}$ D. $frac{a}{2}$
Lời giải
Chọn C
Xét $Delta AOB$ đều nên cạnh $ABtext{ }=text{ }a$.
Xét $vartriangle BOC$ vuông tại O nên $BC=asqrt{2}$.
Xét $vartriangle AOC$ có .$AC=sqrt{A{{O}^{2}}+C{{O}^{2}}-2.AO.CO.cos{{120}^{0}}}$$=asqrt{3}$.
Xét $vartriangle ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $Rightarrow $ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm $H$ của cạnh $AC$.
Lại có hình chóp $O.ABC$ có $OA=OB=OC=a$ nên $OHbot (ABC)$.
Xét hình chóp $S.ABC$ có $OH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy, trong tam giác $OHB$ kẻ trung trực của cạnh $SB$ cắt $OH$ tại $I$ thì $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=IS$ .
Xét $vartriangle OHB$ có $widehat{HOB}=60{}^circ $,cạnh $OB=aRightarrow OE=frac{3a}{4}$ .
$Rightarrow IE=OE.tan 60{}^circ =frac{3asqrt{3}}{4}$ .
Xét $vartriangle IES$ vuông tại E : $IS=sqrt{I{{E}^{2}}+E{{S}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{3asqrt{3}}{4} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{4} right)}^{2}}}=frac{asqrt{7}}{2}$ .
Tác giả: Đỗ Ngọc Tân; FB: Tân Ngọc Đỗ
Câu 43. Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $int{fleft( x right)text{d}}x={{text{e}}^{-2018x}}+C$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $fleft( x right)=2018{{text{e}}^{-2018x}}$. B. $fleft( x right)=frac{{{text{e}}^{-2018x}}}{2018}$.
C. $fleft( x right)=frac{{{text{e}}^{-2018x}}}{-2018}$. D. $fleft( x right)=-2018{{text{e}}^{-2018x}}$.
Lời giải
Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn D
Ta có $int{fleft( x right)text{d}}x={{text{e}}^{-2018x}}+CRightarrow fleft( x right)={{left( {{text{e}}^{-2018x}} right)}^{prime }}=-2018{{text{e}}^{-2018x}}$.
Câu 44 . Biểu thức $underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{sin x}{x}$ bằng
A. $0$. B. $frac{2}{pi }$.
C. $frac{pi }{2}$. D. $1$.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung
Chọn B
$underset{xto frac{pi }{2}}{mathop{lim }},frac{sin x}{x}=frac{sin frac{pi }{2}}{frac{pi }{2}}=frac{2}{pi }$.
Câu 45 . Tập nghiệm của bất phương trình ${{log }_{0,5}}left( x-1 right)>1$ là
A. $left( -infty ;-frac{3}{2} right)$. B. $left( 1;frac{3}{2} right)$.
C. $left( frac{3}{2};+infty right)$. D. $left[ 1;frac{3}{2} right)$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn B
Bất phương trình$Leftrightarrow 0<x-1<0,5Leftrightarrow 1<x<frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là: $S=left( 1;frac{3}{2} right).$
Câu 46. Cho hàm số $y=fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Phương trình $fleft( 2sin x right)=m$ có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $left[ -pi ;pi right]$ khi và chỉ khi
A. $min left{ -3;1 right}$. B. $min left( -3;1 right)$.
C. $min left[ -3;1 right)$. D. $min left( -3;1 right]$.
Lời giải
Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung
Chọn A
Ta có bảng biến thiên hàm số $y=gleft( x right)=2sin x$ trên $left[ -pi ;pi right]$.
Phương trình $fleft( 2sin x right)=m$ có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $left[ -pi ;pi right]$ khi và chỉ khi phương trình $fleft( t right)=m$ có:
Một nghiệm duy nhất $t=0$, nghiệm còn lại không thuộc $left[ -2;2 right]$, khi đó $min varnothing $
hoặc một nghiệm $t=2$ nghiệm còn lại thuộc $left( -2;2 right)backslash left{ 0 right}$, khi đó $m=1$
hoặc một nghiệm $t=-2$, nghiệm còn lại thuộc $left( -2;2 right)backslash left{ 0 right}$, khi đó $m=-3$.
Vậy $min left{ -3;1 right}$.
Câu 47. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $Aleft( 2;0;0 right),Bleft( 0;2;0 right),Cleft( 0;0;2 right)$. Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và $widehat{AMB}=widehat{BMC}=widehat{CMA}=90{}^circ $?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Nguyên Bằng; Fb: Phạm Nguyên Bằng
Chọn C
Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$.
Do $widehat{AMB}=widehat{BMC}=widehat{CMA}=90{}^circ $ nên các tam giác $Delta AMB,Delta BMC,Delta CMA$ vuông tại $M$.
Khi đó $IM=frac{AB}{2};JM=frac{BC}{2};KM=frac{AC}{2}$. Mặt khác $AB=BC=AC=2sqrt{2}$.
Vậy $MI=MJ=MK=sqrt{2}$. Khi đó $M$ thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy $IJK$ và cách $left( IJK right)$một khoảng không đổi là $sqrt{2}$. Khi đó có hai điểm $M$thỏa mãn điều kiện trên.
Câu 48. Tập hợp các số thực $m$ để phương trình ${{log }_{2}}x=m$ có nghiệm thực là
A. $left( 0;,+infty right)$. B. $left[ 0;,+infty right)$.
C. $left( -infty ;,0 right)$. D. $mathbb{R}$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Bình ; Fb:Phạm Văn Bình
Chọn D
Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là $x>0$.
Dễ thấy $forall min mathbb{R}$ thì đường thẳng $y=m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y={{log }_{2}}x$ tại đúng một điểm.
Vậy tập hợp các số thực $m$ để phương trình ${{log }_{2}}x=m$ có nghiệm thực là $forall min mathbb{R}$.
Câu 49. Cho hàm số $f(x)=(1-x_{{}}^{2})_{{}}^{2019}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên $R$. B. Hàm số đồng biến trên $(-infty ;0)$.
C. Hàm số nghịch biến trên $(-infty ;0)$. D. Hàm số nghịch biến trên $R$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đăng Ái; Fb: Nguyễn Đăng Ái
Chọn B
Đạo hàm: ${f}’left( x right)=2019.left( 1-x_{{}}^{2} right)_{{}}^{2018}.{{left( 1-x_{{}}^{2} right)}^{prime }}=2019.left( 1-x_{{}}^{2} right)_{{}}^{2018}.left( -2x right)$
Nhận thấy ngay: $2019.left( 1-x_{{}}^{2} right)_{{}}^{2018}ge 0$. Nên ta có thể nhận thấy ngay dấu của đạo hàm cùng dấu với $left( -x right)$. Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên $left( -infty ;0 right)$.
Câu 50. Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng ${{cos }^{2}}x$.
A. $y=frac{{{cos }^{3}}x}{3}$. B. $y=-frac{{{cos }^{3}}x}{3}+Cleft( Cin mathbb{R} right)$.
C. $y=-sin 2x$. D. $y=-sin 2x+Cleft( Cin mathbb{R} right)$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb :Nguyễn Văn Chí
Chọn C
Hàm số $Fleft( x right)$ được gọi là một nguyên hàm của $fleft( x right)$ nếu ${F}’left( x right)=fleft( x right)$.
Ta có: ${{left( {{cos }^{2}}x right)}^{prime }}=-2sin xcos x=-sin 2x$.
