Lời giải chi tiết – trang 1

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

1) Giải phương trình $$x+1$$2-x$=0$.

2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ gọi $A,,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $$d$,y=-2x+4$ với trục $Ox,,Oy$. Tính diện tích tam giác $OAB$.

3) Cho tam giác $ABC$ có $AB=6,cm,,,AC=8,cm,,BC=10,cm$. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

4) Một hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng $8,cm$ và mặt đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt bằng $5,cm,,12,cm$. Tính thể tích của hình lăng trụ đó.

(2,0đ)

1)

+ Ta có $$x+1$$2–x$ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x + 1 = 0\
2 – x = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x =  – 1\
x = 2.
end{array} right.$

0,25

+ Vậy tất cả các nghiệm $x$ của phương trình là:  $-1;2$.

0,25

2)

+$A$ là giao điểm của $$d$$ với trục $Ox$, suy ra  $A$2;0$$;

+ $B$ là giao điểm của $$d$$ với trục $Oy$, suy ra  $B$0;4$$;                                                        

0,25

+ Tam giác $OAB$ vuông tại $O$.

Diện tích tam giác $OAB$ là:

 $dfrac{1}{2}.OA.OB=dfrac{1}{2}.2.4=4$ $đvdt$.

0,25

3)

+ Vì ${{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}=100Rightarrow A{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}=B{{C}^{2}}Rightarrow $ $Delta ABC$ vuông tại $A$.

0,25

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ là

 $R=dfrac{BC}{2}=5,$cm$$.

+ Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là: $2pi .R=10pi ,$cm$$.

0,5

4)

+ Diện tích của một mặt đáy là: $mathbf{S}=dfrac{1}{2}.5.12=30,,$c{m}^2$$.

0,25

+ Thể tích hình lăng trụ là: $mathbf{V}=mathbf{S}.mathbf{h}=30.8=240,$c{m}^3$$.

0,25

Câu 2

Cho biểu thức $P=left$1-dfrac1sqrtxright$:left$dfracsqrtx-1sqrtx+dfrac1-sqrtxx+sqrtxright$$, $với\$x>0\$và\$xne1\$$.

    1) Rút gọn biểu thức $P$.

    2) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x=sqrt{2022+4sqrt{2018}}-sqrt{2022-4sqrt{2018}}$.

$1,5đ$

1)

+ Ta có $1-dfrac{1}{sqrt{x}}=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}}$

0,25

Và  $dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}}+dfrac{1-sqrt{x}}{x+sqrt{x}}=dfrac{x-1+1-sqrt{x}}{left$sqrtx+1right$sqrt{x}}=dfrac{left$sqrtx-1right$sqrt{x}}{left$sqrtx+1right$sqrt{x}}=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1}$

0,25

nên $P=dfrac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}}.dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}$

0,25

               $=dfrac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$.

0,25

2)

+ Có $x=sqrt{2022+4sqrt{2018}}-sqrt{2022-4sqrt{2018}}$

$=sqrt{{{left$sqrt2018+2right$}^{2}}}-sqrt{{{left$sqrt2018-2right$}^{2}}}$

$=left| sqrt{2018}+2 right|-left| sqrt{2018}-2 right|=sqrt{2018}+2-sqrt{2018}+2=4$ thỏa mãn điều kiện  $x>0$ và $xne 1$.

0,25

+ Vậy giá trị của biểu thức $P$ tại $x=4$ là: $dfrac{sqrt{4}+1}{sqrt{4}}=dfrac{3}{2}$.

0,25

Câu 3

1) Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0text{ }$$$1$$ $với\$m\$làthamsố$.

a) Giải phương trình $1$ với $m=6$.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $1$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$ sao cho $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình $3sqrt{x+5}+6sqrt{5-x}=15-3x+4sqrt{25-{{x}^{2}}}$.

$2,5đ$

1.a)

+ Với $m=6$, phương trình $1$  trở thành: ${{x}^{2}}-6x-40=0text{ }$.

0,25

+ Tính được  ${{Delta }^{‘}}=49>0$

0,25

+ Với $m=6$, phương trình $1$  có hai nghiệm:

 $x=3-7=-4;,,,x=3+7=10.$

0,25

1.b)

+ Có $Delta =5{{m}^{2}}+16>0,forall m$

nên $forall m$, phương trình $1$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}}$.

0,25

+ Ta có ${{x}_{1,2}}=dfrac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}$ nên $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=dfrac{sqrt{Delta }}{left| a right|}=sqrt{5{{m}^{2}}+16}ge sqrt{16}=4,forall m.$

0,25

+ $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=4$ khi và chỉ khi ${{m}^{2}}=0Leftrightarrow m=0$,  tức là $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=0$.

* Vậy tất cả các giá trị của tham số $m$ cần tìm là: $0$.

0,25

2)

+ Điều kiện $-5le xle 5,$\ast$$.

+ Phương trình tương đương với:  $3left$sqrtx+5+2sqrt5-xright$=15-3x+4sqrt{25-{{x}^{2}}}$    

0,25

+ Đặt $t=,sqrt{x+5}+2sqrt{5-x}Rightarrow 15-3x+4sqrt{$x+2$$3-x$}={{t}^{2}}-10$. Ta thu được phương trình $ẩnt$: ${{t}^{2}}-3t-10=0Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-2,$.

0,25

+ Với $t=5$, ta có $sqrt {x + 5}  + 2sqrt {5 – x}  = 5 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
 – 5 le x le 5\
4sqrt {25 – {x^2}}  = 3x
end{array} right.$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
0 le x le 5\
{x^2} = 16
end{array} right. Leftrightarrow x = 4$

0,25

+ Với $t=-2$, ta có $sqrt{x+5}+2sqrt{5-x}=-2$ $vônghiệm,dovớiđiềukiện(\ast$ thì  $sqrt{x+5}+2sqrt{5-x}>0$).

* KL: Vậy tất cả các nghiệm $x$ của phương trình là: $4$.

0,25