Giải đề thi giữa kì 2 môn Toán 9 THCS Hùng Vương năm 2015-2016

Bài 1: 

a. Điều kiện xác định: $x ne 0;x ne  pm 1;x ne  pm sqrt 2 $. Khi đó:

$A=left$dfrac{x}^3-1x-1+xright$left$dfrac{x}^3+1x+1-xright$:dfrac{x{{left$1-x^{2}right$}^{2}}}{{{x}^{2}}-2}$

$A=left$$dfracleft(x-1right)left(x^2+x+1right)x-1+xright$$left$$dfracleft(x+1right)left(x^2-x+1right)x+1-xright$$cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left$1-x^{2}right$}^{2}}}$

$A=left$x^2+x+1+xright$left$x^2-x+1-xright$cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left$x^2-1right$}^{2}}}$

$A=left$x^2+2x+1right$left$x^2-2x+1right$cdot dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{left$x+1right$}^{2}}{{left$x-1right$}^{2}}}$

$A=dfrac{{{left$x+1right$}^{2}}{{left$x-1right$}^{2}}left$x^2-2right$}{x{{left$x+1right$}^{2}}{{left$x-1right$}^{2}}}$

$A=dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$

 Vậy $A=dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$ với $xne 0;,,xne pm 1;,,xne pm sqrt{2}$

b. Thay $x=sqrt{6+2sqrt{2}}$ $thỏamãnđiềukiện$ vào biểu thức A đã rút gọn, ta được:

$A=dfrac{{{left$sqrt6+2sqrt2right$}^{2}}-2}{sqrt{6+2sqrt{2}}}=dfrac{6+2sqrt{2}-2}{sqrt{6+2sqrt{2}}}=dfrac{4+2sqrt{2}}{sqrt{6+2sqrt{2}}}$  

$Rightarrow {{A}^{2}}={{left$dfrac4+2sqrt2sqrt6+2sqrt2right$}^{2}}=dfrac{{{left$4+2sqrt2right$}^{2}}}{{{left$sqrt6+2sqrt2right$}^{2}}}=dfrac{24+16sqrt{2}}{6+2sqrt{2}}=dfrac{4left$3+2sqrt2right$}{3+sqrt{2}}$

$Rightarrow {{A}^{2}}=dfrac{4left$3+2sqrt2right$left$3-sqrt2right$}{left$3+sqrt2right$left$3-sqrt2right$}=dfrac{4left$5+3sqrt2right$}{7}=dfrac{4left$35+21sqrt2right$}{49}$

Mà $A>0$ $do\$A=dfrac4+2sqrt2sqrt6+2sqrt2\$$ nên $A=dfrac{2sqrt{35+21sqrt{2}}}{7}$

 Vậy $A=dfrac{2sqrt{35+21sqrt{2}}}{7},,,khi,,,x=sqrt{6+2sqrt{2}}$

c. Với $xne 0;,,xne pm 1;,,xne pm sqrt{2}$, để $A=-1$ thì $dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}=-1$

$begin{array}{l}
 Rightarrow {x^2} – 2 =  – x\
 Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\
 Leftrightarrow left$x^2–xright$ + left$2rmx–2right$ = 0\
 Leftrightarrow xleft$x–1right$ + 2left$x–1right$ = 0\
 Leftrightarrow left$x–1right$left$x+2right$ = 0\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 1 = 0\
x + 2 = 0
end{array} right.\
 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 $khôngquadthỏaquadmãn$\
x =  – 2 $thỏaquadmãn$
end{array} right.
end{array}$

(Có thể nhẩm nghiệm bằng Viét hoặc dùng công thức nghiệm)

Vậy để $A=-1$ thì $x=-2$.

Bài 2:             Đổi $4h45’=4,75,h$

Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x $h$, thời gian ô tô đi từ B đến C là y $h$.

$Điềukiện:\$0<x;,,y<4,75$$

Vì tổng thời gian ô tô đi từ A đến C là 4h45’ nên: $x+y=4,75,,,left$1right$$

Vì vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 40 km/h, khi đi từ B đến C là 30 km/h mà quãng đường BC ngắn hơn quãng đường AB là 15km nên: $40text{x}-30y=15,,,,left$2right$$

Từ $1$ và $2$ ta có hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
x + y = 4,75\
40{rm{x}} – 30y = 15
end{array} right.$  

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
40{rm{x}} + 40y = 190\
40{rm{x}} – 30y = 15
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 4,75\
70y = 175
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 2,25,,$thỏamãn$\
y = 2,5,,$thỏamãn$
end{array} right.$

Quãng đường AB dài là: $40cdot 2,25=90$ $km$.

Quãng đường BC dài là: $30cdot 2,5=75$ $km$.

Vậy quãng đường AB, BC dài lần lượt là: 90km, 75km.

Bài 3:

a. Xét hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},,$

Lập bảng giá trị của hàm số:

Đồ thị hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},$là một parabol đi qua các điểm có tọa độ là: $left$-4;8right$;left$-2;2right$;$  $left$0;0right$;left$4;8right$;left$2;2right$$.

Vẽ đồ thị hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},,left$Pright$:$

b. Để điểm $Cleft$-2;mright$in left$Pright$$ thì thay $x=-2;y=m$ vào hàm số $y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}},$ta được:$m=dfrac{1}{2}cdot {{left$-2right$}^{2}},=2$

Vậy để $Cleft$-2;mright$in left$Pright$$ thì $m=2$

c. Giải hệ phương trình:

$1)left{ begin{array}{l}
2{rm{x}} – 3y = 8\
x + 3y = 7
end{array} right.,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{rm{x}} – 3y = 8\
2{rm{x}} + 6y = 14
end{array} right.,,,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
9y = 6\
x + 3y = 7
end{array} right.,,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{2}{3}\
x + 3 cdot frac{2}{3} = 7
end{array} right.,,,, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
y = frac{2}{3}\
x = 5
end{array} right.,,$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $left$x;yright$=left$5,;dfrac23right$$

$2)left{ begin{array}{l}
left$x+3right$left$y–1right$ = xy + 2\
left$x–1right$left$y+3right$ = xy – 2
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
xy – x + 3y – 3 = xy + 2\
xy + 3{rm{x}} – y – 3 = xy – 2
end{array} right.,,,,,,,,$

$ Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
 – x + 3y = 5\
,,,3{rm{x}} – y = 1
end{array} right.,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
 – x + 3y = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
 – x + 3left$3rmx–1right$ = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,,$

$ Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
 – x + 9{rm{x – 3}} = 5\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
{rm{8x}} = 8\
,,,y = 3{rm{x}} – 1
end{array} right.,,, Leftrightarrow ,,,,left{ begin{array}{l}
{rm{x}} = 1\
y = 2
end{array} right.,,,,,$  

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $left$x;yright$=left$1;2right$$

Bài 4:

a. Vì $MIbot AB,MHbot BC$ $I,Hlàchâncácđườngvuônggóc$ nên $widehat{MIB}=widehat{MHB}={{90}^{0}}$

Tứ giác BIMH có tổng hai góc đối:  $widehat{MIB}+widehat{MHB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$ nên tứ giác BIMH nội tiếp $đpcm$.

b. Theo câu $a$, tứ giác BIMH nội tiếp nên $widehat{MIH}=widehat{MBH};widehat{,,MHI}=widehat{MBI}$  $1$

Tương tự câu $a$, tứ giác MHCK nội tiếp nên $widehat{MHK}=widehat{MCK};,,,widehat{MKH}=widehat{MCH}$   $2$

Lại có: $widehat{MBH}=widehat{MCK};,,widehat{MBI}=widehat{MCH}$  $3$  $góctạobởitiatiếptuyếnvàdâycungvớigócnộitiếpcùngchắnmộtcungcủađườngtrònthìbằngnhau$

Từ $1$, $2$ và $3$ suy ra: $widehat{MIH}=widehat{MHK};,,,widehat{MHI}=widehat{MKH}$  nên $Delta MIH$ ∽ $Delta MHK$ $g.g$

$Rightarrow dfrac{MI}{MH}=dfrac{MH}{MK}Rightarrow M{{H}^{2}}=MIcdot MK$ $đpcm$.

c. Từ $1$ và $3$ ta có: $widehat{MHI}=widehat{MCH},,,hay,,,widehat{MHP}=widehat{MCB}$ $4$

Từ $2$ và $3$ ta có: $widehat{MHK}=widehat{MBH},,,hay,,,widehat{MHQ}=widehat{MBC}$   $5$

Từ $4$ và $5$, ta được:  $widehat{PHQ}=widehat{MHP}+widehat{MHQ}=widehat{MCB}+widehat{MBC}$

Tứ giác MPHQ có : $widehat{PMQ}+widehat{PHQ}=widehat{BMC}+widehat{MCB}+widehat{MBC}={{180}^{0}}$ nên tứ giác MPHQ nội tiếp $tổnghaigócđốibằng\${180}^0\$$  $đpcm$.

Bài 5: Với $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước, ta có:

$P=left$sqrtx+dfracasqrtxright$left$sqrtx+dfracbsqrtxright$=x+dfrac{ab}{x}+a+b$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $dfrac{ab}{x}$, ta được:

$x+dfrac{ab}{x}ge 2sqrt{xcdot dfrac{ab}{x}}=2sqrt{ab}$

$Rightarrow x+dfrac{ab}{x}+a+bge 2sqrt{ab}+a+b={{$sqrta+sqrtb$}^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
x = dfrac{{ab}}{x}\
x > 0
end{array} right. Leftrightarrow x = sqrt {ab} $ 

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là ${{$sqrta+sqrtb$}^{2}}$ khi $x=sqrt{ab}$ với  $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước.