Câu 30: Đáp án B
Ta có: $f(log (ln 10))=fleft( log left( dfrac{1}{log e} right) right)=f(-log e)$
Mặt khác $f(-x)=aln left( sqrt{{{x}^{2}}+1}-x right)-bsin ,x+6=aln dfrac{1}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-bsin ,x+6$
$=-aln left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)-bsin ,x+6=-f(x)+6+6=-f(x)+12$
Do đó $f(-log e)=-f(log e)+12=10$.
Câu 31: Đáp án B
Ta có: ${{y}^{‘}}=({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+2(m+1)x+3$
- Với $m=-1Rightarrow {{y}^{‘}}=3>0(forall xin mathbb{R})$ thỏa mãn hàm số đồng biến trên$mathbb{R}$
- Với $m=1Rightarrow y’=4x+3>0Leftrightarrow x>-dfrac{3}{4}$
- Với $mne pm 1$để hàm số đồng biến trên $R Leftrightarrow y’ ge 0(forall x in R) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
Delta ‘ = {(m + 1)^2} – 3({m^2} – 1) le 0
end{array} right.$ - $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
– 2{m^2} + 2m + 4 le 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 1 > 0\
{m^2} – m – 2 le 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m ge 2\
m < – 1
end{array} right.$
Kết hợp $min text{ }!![!!text{ }-2;4]$ và cả 3 TH trên suy có 5 giá trị nguyên của $m$ là $-2;-1;2;3;4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 32: Đáp án D
Ta có: $left{ begin{array}{l}
y = frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + frac{3}{x}\
2{rm{x}} + 3y le 14
end{array} right.$
Khi đó: $P=x(3xy-{{y}^{2}}-2{{x}^{2}})+2text{x}=x(x-y)(y-2x)+2x$
$=(y-2text{x})({{x}^{2}}-xy)+2text{x}=-3(y-2text{x})+2text{x}=8text{x}-3y=8text{x}-3dfrac{{{x}^{2}}+3}{x}=5text{x}-dfrac{9}{x}=f(x)$
Mặt khác: $2x+3left( x+dfrac{3}{x} right)le 14Leftrightarrow 5text{x}+dfrac{9}{x}le 14Leftrightarrow 1le xle dfrac{9}{5}Rightarrow xin left[ 1;dfrac{9}{5} right]$
Xét hàm số $f(x)=5text{x}-dfrac{9}{x}$ trên khoảng $left[ 1;dfrac{9}{5} right]$ ta có:
${{f}^{‘}}(x)=5+dfrac{9}{{{x}^{2}}}>0left( forall xin left[ 1;dfrac{9}{5} right] right)Rightarrow M+m=f(1)+fleft( dfrac{9}{5} right)=0.$
Câu 33: Đáp án C
Ta có: $y’ = 4{x^3} + 4mx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
{x^2} = – m
end{array} right.$
+) Để hàm số có CĐ, CT$Leftrightarrow m<0$. Khi đó gọi $Aleft( 0;-1 right),Bleft( sqrt{-m};-{{m}^{2}}-1 right),Cleft( -sqrt{m};-{{m}^{2}}-1 right)$là 3 điểm cực trị. Gọi H là trung điểm của BC ta có: $Hleft( 0;-{{m}^{2}}-1 right)$
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AH đồng thời là đường cao do đó:
${{S}_{ABC}}=dfrac{1}{2}AH.BC=dfrac{1}{2}left| {{m}^{2}} right|.2sqrt{-m}={{m}^{2}}sqrt{-m}=4sqrt{2}Leftrightarrow m=-2left( tm right)$
Câu 34: Đáp án D
Trước hết ta tính số cách chọn 3 số phân biệt từ tập A sao cho không có 2 số nào liên tiếp (gọi số cách đó là M).
+) Ta hình dung có 13 quả cầu xếp thành 1 hàng dọc (tượng trưng cho 13 số còn lại của A)
+) Giữa 13 quả cầu đó và 2 đầu có tất cả 14 chỗ trống.
Số cách M cần tìm chính là số cách chọn 3 trong 14 chỗ trống đó, tức là bằng $C_{14}^{3}$.
Xác suất cần tính là $P=dfrac{C_{14}^{3}}{C_{16}^{3}}=dfrac{13}{20}.$
Câu 35: Đáp án C
Ta có: $PTLeftrightarrow 2{{cos }^{2}}x-1+sqrt{3}sin2x=2Leftrightarrow sqrt{3}sin 2x+cos2x=2Leftrightarrow 2sin left( 2x+dfrac{pi }{6} right)=2$
$Leftrightarrow sin left( 2x+dfrac{pi }{6} right)=1Leftrightarrow 2x+dfrac{pi }{6}=dfrac{pi }{2}+k2pi Leftrightarrow x=dfrac{pi }{6}+kpi ,,left( kin mathbb{Z} right)$
Với $xin left( 0;dfrac{5pi }{2} right]Rightarrow x=dfrac{pi }{6};x=dfrac{7pi }{6};x=dfrac{13pi }{6}$ suy ra tổng các nghiệm là: $dfrac{7pi }{2}.$
Câu 36: Đáp án B
Phương trình đường thẳng AB là: $left{ begin{array}{l}
x = t\
y = t\
z = t
end{array} right.$
Suy ra $Mleft( 3;3;3 right)$ là giao điểm của AB và mặt phẳng (P) khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu $left( S right)$.
Theo tính chất phương tích ta có: $MA.MB=M{{C}^{2}}Rightarrow M{{C}^{2}}=2sqrt{3}.6sqrt{3}=36.$
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm $Mleft( 3;3;3 right)$ bán kính $R=6.$
Câu 37: Đáp án B
Đặt $t={{left( dfrac{1}{3} right)}^{x}}(t>0)$ khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt+2m+1=0 (*)$
PT đã cho có nghiệm $Leftrightarrow (*)$ có ít nhất 1 nghiệm dương.
TH1: Phương trình đã cho có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m = – frac{1}{2}\
m > 0
end{array} right.$ ( Loại)
TH2: (*) chỉ có nghiệm dương $Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta = {m^2} – 8m – 4 ge 0\
S = m > 0\
P = 2m + 1 > 0
end{array} right. Leftrightarrow m ge 4 + 2sqrt 5 $
TH3: (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu $Leftrightarrow P=2m+1<0Leftrightarrow m<-dfrac{1}{2}$
Do đó $mathbb{R}~backslash S=left. left[ -dfrac{1}{2};4+2sqrt{5} right. right)Rightarrow $tập này có 9 giá trị nguyên.
Câu 38: Đáp án B
$GTRightarrow dfrac{x{{f}^{‘}}(x)}{x+1}+dfrac{f(x)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}=dfrac{x}{x+1}$
Lại có: $left[ dfrac{x}{x+1}.f(x) right]’=dfrac{x}{x+1},{{f}^{‘}}(x)+dfrac{f(x)}{{{left( x+1 right)}^{2}}}$
Nguyên hàm hai vế ta có: $dfrac{x}{x+1}f(x)=int{dfrac{x}{x+1}dtext{x}=x-ln left| x+1 right|+C}$
Do $f(1)=1Rightarrow dfrac{1}{2}f(1)=1-ln 2+CRightarrow C=-1$
Khi đó: $dfrac{2}{3}f(2)=2-ln 3-1=1-ln 3Rightarrow f(2)=dfrac{3}{2}-dfrac{3}{2}ln 3Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=dfrac{9}{2}.$
Câu 39: Đáp án C
Ta có: $left| {{z}_{2}}-3-4i right|=dfrac{1}{2}Leftrightarrow left| 2{{text{z}}_{2}}-6-8i right|=1$. Đặt $A,({{z}_{1}}),B (2{{text{z}}_{2}})Rightarrow P=MA+MB+2.$
Với $M(z)$ thuộc đường thẳng $(d):3text{x}-2y-12=0.$ Và $left{ begin{array}{l}
A in left( {{C_1}} right):{left( {x – 3} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} = 1\
B in left( {{C_2}} right):{left( {x – 6} right)^2} + {left( {y – 8} right)^2} = 1
end{array} right..$
Dễ thấy $({{C}_{1}}),({{C}_{2}})$ nằm cùng phía với $(d)$. Gọi I là điểm đối xứng với ${{I}_{1}}(3;4)$ qua $(d)$.
Phương trình đường thẳng $I{{I}_{1}}$ là $2text{x}+3y-18=0Rightarrow $ Trung điểm $E$ của $I{{I}_{1}}$ là $Eleft( dfrac{72}{13};dfrac{30}{13} right).$
Suy ra $Ileft( dfrac{105}{13};dfrac{8}{13} right)$. Khi đó đường tròn $(C)$ đối xứng $({{C}_{1}})$ qua $(d)$ là ${{left( x-dfrac{105}{13} right)}^{2}}+{{left( y-dfrac{8}{13} right)}^{2}}=1.$
Và ${{A}^{‘}}$ đối xứng với $A$ qua $(d)Rightarrow MA+MB=M{{A}^{‘}}+MBge {{A}^{‘}}B=I{{I}_{2}}-{{R}_{1}}-{{R}_{2}}=dfrac{sqrt{9945}}{13}-2.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là ${{P}_{min }}=dfrac{sqrt{9945}}{13}.$
Câu 40: Đáp án D
Hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và Ox là nghiệm phương trình: $ln left( x+1 right)=0Leftrightarrow x=0$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=pi intlimits_{0}^{e-1}{{{ln }^{2}}left( x+1 right)dx=}pi .left( e-2 right).$
Câu 41: Đáp án A
Gọi $K$ là trung điểm $ABRightarrow MK//BC,,,,KP//B{{B}^{‘}}$
$Rightarrow (MKP)//({{B}^{‘}}{{C}^{‘}}CB)Rightarrow d(MP;HN)=d(K;(B{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}C))$
$=dfrac{1}{2}d(A;(B{{B}^{‘}}{{C}^{‘}}C))=dfrac{AH}{2}=dfrac{AB.AC}{2sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=dfrac{asqrt{3}}{4}.$
Câu 42: Đáp án D
Hình vẽ tham khảo
Nối $left{ begin{array}{l}
NE cap AD = I\
IM cap BD = F
end{array} right. Rightarrow $ Thiết diện là hình thang MNEF như hình vẽ trên.
Câu 43: Đáp án D
Vẽ đồ thị hàm số $fleft( x right)={{x}^{3}}-3xRightarrow $ Đồ thị hàm số $y=left| fleft( x right) right|$ như hình vẽ dưới đây.
Do đó, phương trình ${{m}^{2}}+m=left| fleft( x right) right|$ có 6 nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow 0 < {m^2} + m < 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
– 2 < m < – 1\
0 < m < 1
end{array} right..$
Câu 44: Đáp án A
Ta có $vleft( t right)=int{aleft( t right)dt=int{left( -4+2t right)dt={{t}^{2}}-4t+C}}$ mà $vleft( 0 right)=20Rightarrow C=20.$
Khi đó $vleft( t right)={{t}^{2}}-4t+20={{left( t-2 right)}^{2}}+16ge 16.$ Suy ra ${{v}_{min }}=16Leftrightarrow t=2.$
Vậy quãng đường vật đi được trong 2s là $S=intlimits_{0}^{2}{left( {{t}^{2}}-4t+20 right)dt=dfrac{104}{3}m.}$
Câu 45: Đáp án A
Gọi $M=(Delta )cap (d)Rightarrow Min dRightarrow M(2t-1;t;3t-2)$
Mà $Min (P)Rightarrow 2t-1+2t+3t-2-4=0Leftrightarrow t=1.$Suy ra $M(1;1;1).$
Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} bot overrightarrow {{n_{(P)}}} }\
{overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} bot overrightarrow {{u_d}} {rm{;}}}
end{array}} right. Rightarrow overrightarrow {{u_Delta }} {rm{ ;}} = left[ {overrightarrow {{n_{(P)}}} ;overrightarrow {{u_d}} } right] = (5; – 1; – 3) Rightarrow $
Phương trình $Delta :dfrac{x-1}{5}=dfrac{y-1}{-1}=dfrac{z-1}{-3}.$
Câu 46: Đáp án B
Ta có $g(x)=f(x)+2text{x}xrightarrow{{}}{{g}^{‘}}(x)={{f}^{‘}}(x)+2=0Leftrightarrow {{f}^{‘}}(x)=-2.$
Dựa vào ĐTHS, phương trình ${{f}^{‘}}(x)=-2$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-1,x={{x}_{0}}.$
Mà ${{g}^{‘}}(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=-1$. Suy ra $y=g(x)$ có duy nhất 1 điểm cực trị.
Câu 47: Đáp án C
Gọi M là trung điểm của $BCRightarrow BCbot left( A’AM right)Rightarrow oversetfrown{left( A’BC right);left( ABC right)}=oversetfrown{A’AM}$.
Tam giác A’AM vuông tại A, có $tan oversetfrown{A’AM}=dfrac{AA’}{AM}Rightarrow AA’=tan 60{}^circ .dfrac{asqrt{3}}{2}=dfrac{3text{a}}{2}$.
Vậy thể tích cần tính là $V=AA’.{{S}_{Delta ABC}}=dfrac{3text{a}}{2}.dfrac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=dfrac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$
Câu 48: Đáp án A
Xét khai triển ${{left( x-dfrac{1}{4} right)}^{n}}=sumlimits_{k-0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{n-k}}}.{{left( -dfrac{1}{4} right)}^{k}}$. Hệ số của ${{x}^{n-2}}$ ứng với $k=2$.
Khi đó $C_{n}^{2}.{{left( dfrac{1}{4} right)}^{2}}=31Leftrightarrow C_{n}^{2}=496Leftrightarrow dfrac{n!}{left( n-2 right)!.2!}=496Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-992=0Leftrightarrow n=32.$
Câu 49: Đáp án C
Kẻ $SHbot (ABC)$ mà $left{ begin{array}{l}
SB bot AB\
SC bot AC
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
AB bot (SBH)\
AC bot (SCH)
end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}
AB bot BH\
AC bot CH
end{array} right. Rightarrow HBAC$ là hình chữ nhật.
Ta có $HC//(SAB)Rightarrow d(C;(SAB))=d(H;(SAB))=HK$, với $K$ là hình chiếu của $H$ trên $SB$.
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ đi qua điểm $H$.
$Rightarrow {{R}_{S.ABC}}=sqrt{R_{HBAC}^{2}+dfrac{S{{H}^{2}}}{4}}=dfrac{sqrt{B{{C}^{2}}+S{{H}^{2}}}}{2}=dfrac{sqrt{5}}{2}Rightarrow SH=1.$
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$, có
$dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+dfrac{1}{B{{H}^{2}}}=dfrac{1}{{{1}^{2}}}+dfrac{1}{{{left( sqrt{3} right)}^{2}}}=dfrac{4}{3}Rightarrow HK=dfrac{sqrt{3}}{2}.$
Vậy khoảng cách cần tính là $d(C;(SAB))=dfrac{sqrt{3}}{2}cm.$
Câu 50: Đáp án D
Gọi H là trung điểm của $BCRightarrow {{B}^{‘}}Hbot (ABC).$
Gắn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ bên.
Với $text{A(0;0;0),},,text{B(3;0;0),},,text{C(0;4;0),} text{H}left( dfrac{3}{2};2;0 right)$.
Và ${{A}^{‘}}left( -dfrac{3}{2};2;3 right),,,{{C}^{‘}}left( dfrac{3}{2};2;3 right)text{,},,{{C}^{‘}}left( -dfrac{3}{2};6;3 right)Rightarrow Mleft( 0;2;3 right).$
Khi đó [cos a = frac{{left| {overrightarrow {{n_{(AMC’)}}} .overrightarrow {{n_{(A’BC)}}} } right|}}{{left| {{{overrightarrow n }_{(AMC’)}}} right|.left| {overrightarrow {{n_{(A’BC)}}} } right|}} = frac{{33}}{{sqrt {3157} }}]
