Câu 40: Đáp án C
Có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{Delta subset (P)}\
{Delta bot d}
end{array}} right. Rightarrow overrightarrow {{u_Delta }} = [overrightarrow {{n_P}} ,overrightarrow {{u_d}} ] = (0;1; – 1).$
Ta có $d(A,Delta )ge d(A,(P))=const.$
Dấu bằng đạt tại khi Δ qua hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (P) là nghiệm của hệ
$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2y + 2z – 5 = 0}\
{frac{{x + 5}}{1} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z + 2}}{2}}
end{array}} right. Leftrightarrow (x;y;z) = ( – 3;2;2).$ Vậy $Delta :left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 3}\
{y = 2 + t}\
{z = 2 – t}
end{array}} right..$
Câu 41: Đáp án A
Đường thẳng qua $A(2;5)$ hệ số góc k là $y=k(x-2)+5.$
Ta có điều kiện tiếp xúc:$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{2mx – 1}}{{2x – 2}} = k(x – 2) + 5}\
{frac{{ – 4m + 2}}{{4{{(x – 1)}^2}}} = k}
end{array}} right. Rightarrow frac{{2mx – 1}}{{2x – 2}} = frac{{ – 4m + 2}}{{4{{(x – 1)}^2}}}(x – 2) + 5.$
Phương trình này tương đương với: $(2m-10){{x}^{2}}+18x-4m-7=0(1).$
Ta cần tìm điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức
$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{2m – 10 ne 0}\
{Delta ‘ = 81 + (2m – 10)(4m + 7) > 0}\
{(2m – 10) + 18 – 4m – 7 ne 0}
end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m < frac{1}{2}}\
{frac{{11}}{4} < m ne 5}
end{array}} right..$
Do đó $min left{ 3,4,6,7,8,9 right}$ có 6 số nguyên thoả mãn.
Câu 42: Đáp án A
Đạo hàm hai vế đẳng thức có $200{{(x+1)}^{199}}=C_{200}^{1}+2C_{200}^{2}x+3C_{200}^{3}{{x}^{2}}+…+200C_{200}^{200}{{x}^{199}}.$
Nhân thêm hai vế đẳng thức trên với x có
$200x{{(x+1)}^{199}}=C_{200}^{1}x+2C_{200}^{2}{{x}^{2}}+3C_{200}^{3}{{x}^{3}}+…+200C_{200}^{200}{{x}^{200}}.$
Đạo hàm hai vế đẳng thức có
$200{{(x+1)}^{199}}+200times 199x{{(1+x)}^{198}}=C_{200}^{1}+{{2}^{2}}C_{200}^{2}x+{{3}^{2}}C_{200}^{3}{{x}^{2}}+…+{{200}^{2}}C_{200}^{200}{{x}^{199}}.$
Thay $x=1$ vào hai vế của đẳng thức có
$C_{200}^{1}+{{2}^{2}}C_{200}^{2}+{{3}^{2}}C_{200}^{3}+…+{{200}^{2}}C_{200}^{200}={{200.2}^{199}}+200times {{199.2}^{198}}.$
Suy ra ${{2}^{2}}C_{200}^{2}+{{3}^{2}}C_{200}^{3}+…+{{200}^{2}}C_{200}^{200}={{200.2}^{199}}+200times {{199.2}^{198}}-C_{200}^{1}$
$=200left( {{2}^{199}}+{{199.2}^{198}}-1 right)=200left( 201times {{2}^{198}}-1 right).$
Câu 43: Đáp án D
Hàm số $f(x)$ có ba điểm cực trị là $x=-2;x=0;x=2.$ Vì vậy hàm số $y=f(x)+m$ cũng có ba điểm cực trị $x=-2;x=0;x=2.$ Vậy điều kiện để hàm số $y=left| f(x)+m right|$ có 7 điểm cực trị là phương trình $f(x)+m=0Leftrightarrow -m=f(x)$ có 4 nghiệm phân biệt$Leftrightarrow -20<-m<0Leftrightarrow 0<m<20.$
Vậy $min left{ 1,2,…,19 right}$ có 19 số nguyên dương thoả mãn.
Câu 44: Đáp án A
Tứ diện OABC là tứ diện vuông do đó góc nhị diện $left( (ABC),(OBC) right)<{{90}^{0}}.$
Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này và điểm O, A nằm cùng phía với (P).
Có $(ABC):dfrac{x}{1}+dfrac{y}{2}+dfrac{z}{3}=1;(OBC):x=0.$
Vậy mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng này có phương trình
$frac{{frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} – 1}}{{sqrt {{{left( {frac{1}{1}} right)}^2} + {{left( {frac{1}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{1}{3}} right)}^2}} }} = pm frac{x}{{sqrt {{1^2}} }} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{13x + 3y + 2z – 6 = 0}\
{x – 3y – 2z + 6 = 0}
end{array}} right..$
Đối chiếu điều kiện O,A nằm cùng phía nhận $(P):-x+3y+2z-6=0.$
Vậy $a=-1,b=3,c=2$ và $ab+bc+ca=1.$
Câu 45: Đáp án C
Theo giả thiết có$dfrac{2{f}'(x)}{{{f}^{3}}(x)}=dfrac{x+2}{{{x}^{3}}}Rightarrow mathop{int }^{}dfrac{2{f}'(x)}{{{f}^{3}}(x)}dx=mathop{int }^{}dfrac{x+2}{{{x}^{3}}}dx=-dfrac{1}{x}-dfrac{1}{{{x}^{2}}}+CLeftrightarrow -dfrac{1}{{{f}^{2}}(x)}=-dfrac{1}{x}-dfrac{1}{{{x}^{2}}}+C.$
Thay $x=1$ vào có $C-2=-dfrac{1}{{{f}^{2}}(1)}=-3Leftrightarrow C=-1Rightarrow dfrac{1}{{{f}^{2}}(x)}=dfrac{1}{{{x}^{2}}}+dfrac{1}{x}+1.$
Do đó $underset{1}{overset{2}{mathop int }},dfrac{1}{{{(f(x))}^{2}}}dx=underset{1}{overset{2}{mathop int }},left( dfrac{1}{{{x}^{2}}}+dfrac{1}{x}+1 right)dx=dfrac{3}{2}+ln 2.$
Câu 46: Đáp án D
Theo giả thiết, ta có $left| {{z}^{2}}+16 right|+left| z(z+4i) right|=4left| z+4i right|$
$Leftrightarrow left| z+4i right|.left| z-4i right|+left| z right|.left| z+4i right|=4left| z+4i right|$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{|z + 4i| = 0}\
{|z – 4i| + |z| = 4}
end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{z = – 4i}\
{|z – 4i| + |z| = 4{rm{ }}(*)}
end{array}} right] Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{z = – 4i}\
{z = bi,b in [0;4]}
end{array}} right].$
Khi đó $|z + 1 – i| = left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{| – 4i + 1 – i| = sqrt {26} }\
{|bi + 1 – i| = sqrt {1 + {{(b – 1)}^2}} in [1;sqrt {10} ],forall b in [0;4]}
end{array}} right..$
Do đó $m=1,M=sqrt{26}Rightarrow P=1+sqrt{26}.$
*Chú ý: Với $M(z),A(4i),B(0)Rightarrow (*)Leftrightarrow MA+MB=ABLeftrightarrow Min [AB].$
Do đó $z=bi,bin [0;4].$
Câu 47: Đáp án B
Phương trình tương đương với: $m=left| {{2}^{left| x right|+1}}-8 right|-dfrac{3{{x}^{2}}}{2}.$ Hàm số $f(x)=left| {{2}^{left| x right|+1}}-8 right|-dfrac{3{{x}^{2}}}{2}$ là một hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần xét trên nửa khoảng $[0;+infty )$ để suy ra bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên cả tập số thực.
Xét hàm số $f(x) = |{2^{x + 1}} – 8| – frac{{3{x^2}}}{2} = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{2^{x + 1}} – 8 – frac{{3{x^2}}}{2}(x ge 2)}\
{ – {2^{x + 1}} + 8 – frac{{3{x^2}}}{2}(0 le x < 2)}
end{array}} right. Rightarrow f'(x) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) = {2^{x + 1}}ln 2 – 3x(x > 2)}\
{ – {2^{x + 1}}ln 2 – 3x < 0(0 < x < 2)}
end{array}} right..$
Có ${g}'(x)={{2}^{x+1}}{{ln }^{2}}x-3>8{{ln }^{2}}2-3>0,forall x>2$ và$g(2)=8ln 2-6<0;g(3)=16ln 2-9>0Rightarrow g(2)g(3)<0Rightarrow g(x)=0$ có nghiệm duy nhất ${{x}_{0}}in (2;3)$ trên khoảng $(2;+infty ).$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $fleft( x right)$ như sau:
Suy ra phương trình có đúng hai nghiệm thực
$ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{m > 6}\
{m = f({x_0}) = {2^{{x_0} + 1}} – 8 – frac{{3x_0^2}}{2} notin }
end{array}} right. Rightarrow m in { 7,8,…,2018} .$
Có tất cả 2012 số nguyên thoả mãn.
Câu 48: Đáp án B
Số cách xếp ngẫu nhiên 6 viên bi là 6! Để đơn giản ta coi viên bi số k là viên bi được ghi số k.
Các số từ 1 đến 6 chỉ có $6+5=11;6+4=10$ là một số tự nhiên có hơn 1 chữ số.
Vậy ta cần xếp sao cho viên bi số 6 không được xếp cạnh viên bi số 4 và viên bi số 5.
Cách 1: Đếm trực tiếp
Viên bi số 6 xếp vào ô số 1 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 4 ô (3,4,5,6) có $A_{4}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{4}^{2}.3!=72$ cách xếp.
Viên bi số 6 xếp vào ô số 6 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 4 ô (1,2,3,4) có $A_{4}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{4}^{2}.3!=72$ cách xếp.
Xếp viên bi số 6 vào ô số 2 thì xếp 2 viên bi số 4 và 5 vào 2 trong 3 ô (4,5,6) có $A_{3}^{2}$ cách xếp; xếp 3 viên bi còn lại có 3! cách. Vậy trường hợp này có $A_{3}^{2}.3!=36$ cách xếp.
Tương tự cho trường hợp viên bi số 6 xếp vào ô số 3,4,5 mỗi trường hợp có 36 cách xếp.
Vậy có tất cả $2times 72+4times 36=288$ cách xếp thoả mãn.
Xác suất cần tính bằng $dfrac{288}{6!}=dfrac{2}{5}.$.
Chọn đáp án B.
Cách 2: Đếm gián tiếp
Số cách xếp viên bi số 4 và số 6 cạnh nhau là 2!5!=240 cách.
Số cách xếp viên bi số 5 và số 6 cạnh nhau là 2!5!=240 cách.
Số cách xếp viên bi số 6 cạnh cả viên bi số 4 và viên bi số 5 là 2!4!=48.
Số cách xếp viên bi số 6 cạnh bi số 4 hoặc cạnh bi số 5 là $240+240-48=432.$
Số cách xếp viên bi số 6 không cạnh viên bi số 4 và viên bi số 5 là $6!-432=288.$
Xác suất cần tính bằng $dfrac{288}{6!}=dfrac{2}{5}.$
Câu 49: Đáp án A
Tứ diện vuông M.ABC. Do đó $overrightarrow{MI}=dfrac{1}{2}left( overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right).$
Mặt khác gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì $overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=3overrightarrow{MG}.$
Vậy ta có $overrightarrow{MI}=dfrac{3}{2}overrightarrow{MG}Rightarrow I(1;2;3)Rightarrow a+b+c=6.$
Câu 50: Đáp án D
Có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=3{{V}_{A.{A}'{B}'{C}’}}$ và ${{V}_{A.{A}'{B}'{C}’}}=dfrac{2{{S}_{A{A}'{B}’}}.{{S}_{A{A}'{C}’}}.sin left( (A{A}'{B}’),(A{A}'{C}’) right)}{3A{A}’}.$
Hạ $AHbot B{B}’,AKbot C{C}’Rightarrow AH=1,AK=2.$
Trong đó ${{S}_{A{A}'{B}’}}={{S}_{AB{B}’}}=dfrac{1}{2}A{A}’.AH=dfrac{1}{2}A{A}’;{{S}_{A{A}'{C}’}}={{S}_{AC{C}’}}=dfrac{1}{2}A{A}’.AK=A{A}’.$
Do đó $V=dfrac{2left( dfrac{1}{2}A{A}’ right)left( A{A}’ right)left( sin {{60}^{0}} right)}{A{A}’}=dfrac{sqrt{3}}{2}A{A}’=2sqrt{3}.$
