giải chi tiết 15 trang 1

Câu 1: Đáp án A

Hướng dẫn giải: Ta có: $AH=dfrac{1}{2}AB=dfrac{a}{2},SA=AB=a,SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=dfrac{asqrt{5}}{2}$

Có $A{{H}^{2}}+S{{A}^{2}}=dfrac{5{{a}^{2}}}{4}=S{{H}^{2}}Rightarrow Delta SAH$ vuông tại A nên $SAbot AB.$

Do đó mà $SAbot left$ABCDright$$ nên $widehat{SC,left$ABCDright$}=widehat{SCA}.$

(Mặt phẳng $left$SABright$$ vuông góc với đáy $left$ABCDright$)$

Trong tam giác vuông SAC, có $tanwidehat{SCA}=dfrac{SA}{AC}=dfrac{1}{sqrt{2}}$

Dễ dàng chọn được đáp án A.

Câu 2: Đáp án C

Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta tính được phương án C là phương án đúng

Câu 3: Đáp án C

Hướng dẫn giải: Điều kiện $left{ begin{array}{l}
sinx ne 0\
cosx ne 0
end{array} right. Leftrightarrow sin 2x ne 0$

Ta có $sqrt{2}left$sinx+cosxright$=tanx+cotxLeftrightarrow sqrt{2}left$sinx+cosxright$=dfrac{sin x}{cosx}+dfrac{cosx}{sin x}$

$Leftrightarrow sqrt{2}left$sinx+cosxright$=dfrac{si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x}{sinx.cosx}Leftrightarrow 2sinx.cosx.sqrt{2}left$sinx+cosxright$=2$

Đặt $t=sinx+cosxleft$-sqrt2letlesqrt2right$Rightarrow sinx.cosx=dfrac{{{t}^{2}}-1}{2}$

Phương trình trở thành $Leftrightarrow sqrt{2}tleft$t^2-1right$=2Leftrightarrow {{t}^{3}}-t-sqrt{2}=0Leftrightarrow t=sqrt{2}$

$Rightarrow sinx+cosx=sqrt{2}Leftrightarrow sinx=sqrt{2}-cosx$

Mà $si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x=1Rightarrow {{cos }^{2}}x+{{left$sqrt2-cosxright$}^{2}}=1Leftrightarrow 2co{{s}^{2}}x-2sqrt{2}cosx+1=0$

$Leftrightarrow cosx=dfrac{1}{sqrt{2}}$

Câu 4: Đáp án A

Hướng dẫn giải: Đặt $t=left| sinx-cosx right|=sqrt{2}left| sin left$x-dfracpi4right$ right|$

Vì $sin left$x-dfracpi4right$in left$$-1;1right$$Rightarrow tin left$$0;sqrt2right$$$

Ta có ${{t}^{2}}={{left$sinx-cosxright$}^{2}}=si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x-2sinxcosxRightarrow sin 2x=1-{{t}^{2}}$

Phương trình trở thành $t + 4left$1–t^{2}right$ = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 1\
t =  – frac{3}{4}left$loairight$
end{array} right.$

Với $t=1,$ ta được $sin 2x=0Leftrightarrow 2x=kpi Leftrightarrow x=dfrac{kpi }{2},kin mathbb{Z}$

Theo giả thiết $xin left$$0;2018piright$$Rightarrow 0le dfrac{kpi }{2}le 2018pi Leftrightarrow 0le kle 4046$

$Rightarrow kin left{ 0;1;2;3;…;4036 right}Rightarrow $ có 4037 giá trị của k nên có 4037 nghiệm

Câu 5: Đáp án B

Hướng dẫn giải: Đặt $t=sinx-cosx=sqrt{2}sin left$x-dfracpi4right$$

Điều kiện $-sqrt{2}le tle sqrt{2}$

Ta có ${{t}^{2}}={{left$sinx-cosxright$}^{2}}=si{{n}^{2}}x+co{{s}^{2}}x-2sinxcosxRightarrow sin 2x=1-{{t}^{2}}$

Phương trình trở thành $1 – {t^2} + t = 1 Leftrightarrow {t^2} – t = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = 0\
t = 1
end{array} right.$

+ Với $t=1,$ ta được $sqrt{2}sin left$x-fracpi4right$=1Leftrightarrow sin left$x-fracpi4right$=frac{1}{sqrt{2}}$

+ Với $t=0,$ ta được $sqrt{2}sin left$x-fracpi4right$=0Leftrightarrow sin left$x-fracpi4right$=0$

Câu 6: Đáp án A

Hướng dẫn giải: Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng AB một góc $360{}^circ $ ta được một khối nón tròn xoay có đỉnh A, đường cao AB, bán kính đáy $R=BC.$

Kết luận $V=dfrac{1}{3}pi B{{C}^{2}}.AB=dfrac{1}{3}pi .{{a}^{2}}.left$3aright$=pi {{a}^{3}}$

Câu 7: Đáp án D

Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta nhận thấy được $S=2pi R.htext{ }=text{ }2pi .2.2text{ }=text{ }8pi $

Câu 8: Đáp án C

Hướng dẫn giải: Gọi độ dài các cạnh của hình chữ nhật là a, b với $0<a,text{ }b<8.$

Ta có được: $2left$a+bright$=16Leftrightarrow a+b=8Leftrightarrow b=8-a.$

Khi đó diện tích hình chữ nhật là: $Sleft$aright$=aleft$8-aright$=-{{a}^{2}}+8a,S’left$aright$=-2a+8,$

$text{ }S’left$aright$=0Leftrightarrow a=4.$ Ta có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới đây:

Bảng biến thiên:

Dựa vào bàng biến thiên trên vậy ta kết luận được hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16 khi cạnh bằng 4.

Câu 9: Đáp án B

Hướng dẫn giải: Ta tính $y’=4{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-4x-3m=left$x-1right$left$$4x^2+left(4+3mright)x+3mright$$$

Khi đó $y’ = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = 1\
4{x^2} + left$4+3mright$x + 3m = 0left$1right$
end{array} right.$

Để hàm số đã cho có hai cực tiểu thì phương trình $l$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta  = {left$3m–4right$^2} > 0\
fleft$1right$ ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left$3m–4right$^2} > 0\
4 + 4 + 3m + 3m ne 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m ne frac{4}{3}\
m ne  – frac{4}{3}
end{array} right.$

Câu 10: Đáp án A

Hướng dẫn giải: điều kiện ${{3}^{x}}-1>0Leftrightarrow x>0.$ Phương trình đề bài đã cho

$begin{array}{l}
lo{g_3}left$3^x–1right$.lo{g_3}left$3^{x+1}–3right$ = 6 Leftrightarrow lo{g_3}left$3^x–1right$.lo{g_3}left$$3left(3^x–1right)right$$ = 6\
 Leftrightarrow lo{g_3}left$3^x–1right$.left$$1+{log}_{3}left(3^x–1right)right$$ = 6 Leftrightarrow lo{g_3}{left$3^x–1right$^2} + {log _3}left$3^x–1right$ – 6 = 0
end{array}$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
lo{g_3}left$3^x–1right$ = 2\
lo{g_3}left$3^x–1right$ =  – 3
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{3^x} = 10\
{3^x} = frac{{28}}{{27}}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = {log _3}10\
x = {log _3}frac{{28}}{{27}}
end{array} right.$

Câu 11: Đáp án D

Hướng dẫn giải:

Ta có ${{2}^{x+dfrac{1}{4x}}}+text{ }{{2}^{dfrac{x}{4}+dfrac{1}{x}}}=4,xne 0$ và $x+dfrac{1}{4x}ge 2sqrt{x.dfrac{1}{4x}}=1Rightarrow {{2}^{x+dfrac{1}{4x}}}ge {{2}^{1}}=2$

Ta lại có $dfrac{x}{4}+dfrac{1}{x}ge 2sqrt{dfrac{x}{4}.dfrac{1}{x}}=2Rightarrow {{2}^{dfrac{x}{4}+dfrac{1}{x}}}ge {{2}^{1}}=2Rightarrow {{2}^{x+dfrac{1}{4x}}}+{{2}^{dfrac{x}{4}+dfrac{1}{x}}}ge 4$

Khi đó dấu bằng xảy ra khi $left{ begin{array}{l}
{x^2} = frac{1}{4}\
{x^2} = 4
end{array} right.$ $vôlý$

Câu 12: Đáp án D

Hướng dẫn giải: Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 15 nên $nleft$Omegaright$=C_{15}^{5}=3003$

Số cách chọn là $nleft$Aright$=C_{10}^{1}C_{5}^{4}+C_{10}^{2}C_{5}^{3}+C_{10}^{3}C_{5}^{2}+C_{10}^{4}C_{5}^{1}=2750$

Xác suất cần tìm là: $P=dfrac{2750}{3003}=dfrac{250}{273}$

Câu 13: Đáp án B

Hướng dẫn giải:  

Gọi A là biến cố “được bi thứ nhất đỏ, bi thứ hai xanh, bi thứ ba vàng”.

Không gian mẫu: $nleft$Omegaright$=6.5.4=120.$

+ Số cách lấy viên thứ nhất là bi đỏ: $C_{3}^{1}=3$ cách.

+ Số cách lấy viên thử hai là bi xanh: 1 cách.

+ Số cách lấy viên thứ ba là bi vàng: 2 cách.

+ Số cách lấy 3 viên thỏa mãn yêu cầu bài toán: $nleft$Aright$=3.1.2=6$ cách

Xác suất để biến cố A xảy ra: $P=dfrac{nleft$Aright$}{nleft$Omegaright$}=dfrac{6}{120}=dfrac{1}{20}$

Câu 14: Đáp án B

Hướng dẫn giải:  

+ Số cách chọn 1 viên bi xanh: $C_{20}^{1}$

+ Số cách chọn 2 viên bi đỏ: $C_{30}^{2}$

+ Số cách chọn 5 viên bi trắng: $C_{10}^{5}$

+ Số cách chọn 8 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán: $C_{20}^{1}.C_{30}^{2}.C_{10}^{5}$

Câu 15: Đáp án B

Hướng dẫn giải:  

Dễ thấy được $left$lnxright$’=dfrac{1}{x}$ do đó ta chọn được phương án đúng

Câu 16: Đáp án A

Hướng dẫn giải:  

Theo công thức SGK ta có được $int{sin2xdx}=-frac{1}{2}cos2x+C$

Câu 17: Đáp án C

Hướng dẫn giải:  

Ta có $f'$x$={{left$frac45x^5-6right$}^{prime }}=4{{x}^{4}}.$

Suy ra $f’left$xright$ = 4 Leftrightarrow {x^4} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1\
x =  – 1
end{array} right.$

Câu 18: Đáp án B

Hướng dẫn giải:  

Ta có:$dy = dfleft$xright$ = dleft$sqrt1+co{s}^{2}2xright$ = frac{{{{left$1+co{s}^{2}2xright$}^prime }}}{{2sqrt {1 + co{s^2}2x} }}dx$

$ = frac{{ – 2.2.cos2xsin 2x}}{{2sqrt {1 + co{s^2}2x} }}dx = frac{{ – sin 4x}}{{sqrt {1 + co{s^2}2x} }}dx$

Câu 19: Đáp án D

Hướng dẫn giải: Ta có $frac{fleft$xright$-fleft$1right$}{x-1}=frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x}{left$x-1right$left$x^2-3x+2right$}=frac{xleft$x-3right$}{left$x-1right$left$x-2right$}$

Cho $xto 1$ ta được$underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{fleft$xright$-fleft$1right$}{x-1}$ không tồn tại nên chọn D

Câu 20: Đáp án D

Hướng dẫn giải: Tập xác định: $D=Rbackslash left{ -1 right}.$ Ta có $y’=frac{m-1}{{{left$x+1right$}^{2}}}$

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định $Leftrightarrow y'<0,forall xne -1Leftrightarrow m<1.$

Đây là bài toán cơ bản về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, các em làm tự luận như trên sẽ nhanh hơn rất nhiều so với bấm máy tính và thử đáp án

Câu 21: Đáp án A

Hướng dẫn giải: Gọi đồ thị hàm số cần tìm là $C$, $C$ có giao của hai đường tiệm cận là $Mleft$dfrac23;dfrac13right$Rightarrow x=dfrac{2}{3}$ và $y=dfrac{1}{3}$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của $C$

Từ đây ta loại được các đáp án B và D.

Ta lại có $C$ đi qua điểm $Aleft$3;lright$,$ thay $x=3$ vào $y=dfrac{x+4}{3x-2}$ ta được $y=dfrac{3+4}{3.3-2}=1$ (thỏa mãn) $Rightarrow y=dfrac{x+4}{3x-2}$chính là hàm số mà ta cần tìm

Câu 22: Đáp án D

Hướng dẫn giải:

$A=dfrac{1}{{{x}^{3}}}+dfrac{1}{{{y}^{3}}}=dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{3}}.{{y}^{3}}}=dfrac{left$x+yright$left$x^2-xy+y^{2}right$}{{{x}^{3}}.{{y}^{3}}}={{left$dfracx+yxyright$}^{2}}={{left$dfrac1x+dfrac1yright$}^{2}}.$

Đặt $x=ty$

Từ giả thiết, ta có được $left$x+yright$xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xyRightarrow left$t+1right$t{{y}^{3}}=left$t^2-t+1right${{y}^{2}}$

Do đó $y=dfrac{{{t}^{2}}-t+1}{{{t}^{2}}+t}Rightarrow x=ty=dfrac{{{t}^{2}}-t+1}{t+1}$

Từ đó ta được $A={{left$dfrac1x+dfrac1yright$}^{2}}={{left$dfrac{t}^2+2t+1t^2-t+1right$}^{2}}$

Xét hàm số $fleft$tright$=dfrac{{{t}^{2}}+2t+1}{{{t}^{2}}-t+1}Rightarrow f’left$tright$=dfrac{-3{{t}^{2}}+3}{{{left$t^2-t+1right$}^{2}}}$

Lập bảng biến thiên ta dễ dàng thấy được giá trị lớn nhất của A là 16 đạt được khi $x=y=dfrac{1}{2}$

Câu 23: Đáp án B

Hướng dẫn giải:

Đặt $text{w}=x+iyleft$x,yinmathbbRright$$

Ta có $text{w}=3-2i+left$2-iright$zLeftrightarrow z=dfrac{text{w}-3+2i}{2-i}=dfrac{x-iy-3+2i}{2-i}$

Thay vào $left| z right|=3$ ta được $left| dfrac{x-iy-3+2i}{2-i} right|=3Leftrightarrow dfrac{sqrt{{{left$x-3right$}^{2}}+{{left$y-2right$}^{2}}}}{sqrt{{{2}^{2}}+1}}=3$

$Leftrightarrow {{left$x-3right$}^{2}}+{{left$y-2right$}^{2}}=45.$

Kết luận $R=3sqrt{5}$ . Dễ dàng chọn được B.

Câu 24: Đáp án A

Hướng dẫn giải:

Dễ dàng ta có $dfrac{left$left|zright|-1right$left$1+izright$}{z-dfrac{1}{z}}=iLeftrightarrow dfrac{left$left|zright|-1right$left$1+izright$overline{z}}{zoverline{.z}-1}=iLeftrightarrow dfrac{left$left|zright|-1right$left$1+izright$overline{z}}{{{left| z right|}^{2}}-1}=ileft$1right$$

Điều kiện ${{left| z right|}^{2}}-1ne 0Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ne 1$

$begin{array}{l}
left$1right$ Leftrightarrow left$1+izright$overline z  = ileft$left|zright|+1right$ Leftrightarrow overline z  + i{left| z right|^2} = ileft$left|zright|+1right$ Leftrightarrow a – bi + ileft$a^2+b^{2}right$ = left$sqrt{a}^2+b^2+1right$i\
 Leftrightarrow a + left$a^2+b^2–bright$i = left$sqrt{a}^2+b^2+1right$i
end{array}$

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 0\
{a^2} + {b^2} – b = sqrt {{a^2} + {b^2}}  + 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 0\
{b^2} – b = left| b right| + 1left$2right$
end{array} right.$

+ Với $b>0$ suy ra $left$2right$ Leftrightarrow {b^2} – 2b – 1 = 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
b = 1 + sqrt 2 \
b = 1 – sqrt 2 
end{array} right. Rightarrow b = 1 + sqrt 2 $

+ Với $b>0$ suy ra $left$2right$Leftrightarrow {{b}^{2}}=1$ loại vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$

Vậy ta đã tìm ra đáp án và hoàn thành xong bài toán

Câu 25: Đáp án B

Hướng dẫn giải:

Theo SGK, ta dễ dàng có được $d=dfrac{left| 2.1+3.left$-3right$+4.1-5 right|}{sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=dfrac{8}{sqrt{29}}$

Câu 26: Đáp án A

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua $Aleft$4;1;2right$$ có một VTCP là $overrightarrow{u}=left$2;1;1right$$

Mặt phẳng $left$Pright$$ có một VTPT là $overrightarrow{n}=left$1;-3;2mright$$

Yêu cầu bài toán $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
A notin left$Pright$\
overrightarrow u .overrightarrow n  = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4 – 3.1 + 2m.2 – 4 ne 0\
2 – 3 + 2m = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
4m – 3 ne 0\
m = frac{1}{2}
end{array} right. Leftrightarrow m = frac{1}{2}$

Câu 27: Đáp án C

Hướng dẫn giải:

Dễ dàng có được $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt$$m$${1+ax}-1}{x}-underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt$$n$${1+bx}-1}{x}=frac{a}{m}-frac{b}{n}$

Câu 28: Đáp án D

Hướng dẫn giải:

Dễ dàng thấy được $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt$$m$${1+ax}left$sqrt[n]1+bx-1right$}{x}+underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt$$m$${1+ax}-1}{x}=frac{b}{n}+frac{a}{m}$

Câu 29: Đáp án B

Hướng dẫn giải:

Hàm số liên tục tại $x=1$ và gián đoạn tại $x=2$ thì $ le left{ begin{array}{l}
mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} fleft$xright$ = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} fleft$xright$ = fleft$1right$\
mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} fleft$xright$ ne mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft$xright$
end{array} right.$

$ Rightarrow left{ begin{array}{l}
a – b = 3\
4b – a ne 6
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = b + 3\
b ne 3
end{array} right.$

Câu 30: Đáp án A

Hướng dẫn giải:

Với mọi điểm A, B tương ứng có ảnh là A’, B’ qua phép biến hình với quy tắc đặt O là trung điểm tương ứng $gọilàphépđốixứngtâmO$ luôn xảy ra sự kiện $A’B’=ABRightarrow $ Đây là phép dời hình

Câu 31: Đáp án D

Hướng dẫn giải: Ta có

$y’=dfrac{-1}{{{left$x-1right$}^{2}}},Ileft$1;1right$.$ Gọi $Mleft$x_0;dfrac{x}_0{x}_0-1right$in C,left$x_{0}ne1right$$

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng $Delta :y=-dfrac{1}{{{left$x_0-1right$}^{2}}}left$x-x_{0}right$+dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1}$

$Leftrightarrow x+{{left$x_0-1right$}^{2}}y-x_{0}^{2}=0.dleft$I,Deltaright$=dfrac{2left| {{x}_{0}}-1 right|}{sqrt{1+{{left$x_0-1right$}^{4}}}}=dfrac{2}{sqrt{dfrac{1}{{{left$x_0-1right$}^{2}}}+{{left$x_0-1right$}^{2}}}}le dfrac{2}{sqrt{2}}=sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $frac{1}{{{{left$x_0–1right$}^2}}} = {left$x_0–1right$^2} Leftrightarrow left| {{x_0} – 1} right| = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 2 Rightarrow {y_0} = 2\
{x_0} = 1left$lright$
end{array} right.$

Tung độ này gần với giá trị $frac{pi }{2}$ nhất trong các phương án mà đề bài đã cho ở bên trên

Câu 32: Đáp án

Hướng dẫn giải:

Ta có: $y’=dfrac{3}{{{left$x+1right$}^{2}}}.$ Gọi $Mleft$x_0;dfrac2x_0-1x_0+1right$in C,left$x_{0}ne-1right$$

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng $y=dfrac{3}{{{left$x_0+1right$}^{2}}}left$x-x_{0}right$+dfrac{2{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}+1}$

$begin{array}{l}
 Leftrightarrow 3x – {left$x_0+1right$^2}y + 2x_0^2 – 2{x_0} – 1 = 0.\
dleft$I,Deltaright$ = frac{{6left| {{x_0} + 1} right|}}{{sqrt {9 + {{left$x_0+1right$}^4}} }} = frac{6}{{sqrt {frac{9}{{{{left$x_0+1right$}^2}}} + {{left$x_0+1right$}^2}} }} le frac{6}{{sqrt {2sqrt 9 } }} = sqrt 6 
end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

$frac{9}{{{{left$x_0+1right$}^2}}} = {left$x_0+1right$^2} Leftrightarrow {left$x_0+1right$^2} = 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} =  – 1 + sqrt 3  Rightarrow {y_0} = 2 – sqrt 3 left$lright$\
{x_0} =  – 1 – sqrt 3  Rightarrow {y_0} = 2 + sqrt 3 
end{array} right.$

Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các phương án mà đề bài đã cho ở bên trên

Câu 33: Đáp án C

Hướng dẫn giải:

Gọi $Mleft$a;dfrac2a-3a-2right$in left$Cright$$ với $ane 2$

Ta có $d=left| a-2 right|+left| dfrac{2a-3}{a-2}-2 right|=left| a-2 right|+dfrac{1}{left| a-2 right|}ge 2$

Kết luận giá trị nhỏ nhất của d bằng 2. Vị trí dấu “=” thì bạn đọc tự tìm nhé