Đề 7: Chuyên Trà Vinh

Bài 1. $2,0điểm$

Cho biểu thức: $Q=dfrac{x}{sqrt{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-left$1+dfracxsqrt{x}^2-y^{2}right$:dfrac{y}{x-sqrt{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$ với $x>y>0$.

1.   Rút gọn Q.

2.   Xác định giá trị của Q khi $x=3y$.

Bài 2. $1,0điểm$

Cho đường thẳng $$d$:y=ax+b$. Tìm $a,b$ biết đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol $$P$:y={{x}^{2}}$ tại điểm $A$-1;1$$.

Bài 3. $2,0điểm$

1.   Giải phương trình: $sqrt{dfrac{{{x}^{2}}}{4}+sqrt{{{x}^{2}}-4}}=8-{{x}^{2}}$

2.   Giải hệ phương trình: $left{ begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2y + 1\
xy = x + 1
end{array} right.$

Bài 4. $1,0điểm$

Với $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: $$b^2+c^2-a^2${{x}^{2}}-4bcx+$b^2+c^2-a^2$=0$.

Bài 5. $1,0điểm$

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$.

Chứng minh: $dfrac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+dfrac{2}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+dfrac{2}{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}le dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{2xyz}+3$.

Bài 6. $3,0điểm$

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ $MIbot AB,MKbot AC$ $\$IinAB,KinAC\$$.

1.   Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2.   Vẽ $MPbot BCtext{ }$PinBC$$. Chứng minh $widehat{MPK}=widehat{MIP}$.

3.   Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích $MI.MK.MP$ đạt giá trị lớn nhất.

——————– HẾT ——————–