Đề 4: đề thi vào lớp 10 chuyên Tỉnh Nam Định năm 2016-2017

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Đơn giản biểu thức   $sqrt{x+2+2sqrt{x+1}}-sqrt{x+2-2sqrt{x+1}}$  với $x>0.$

b) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện   $a+b+c=6$; $dfrac{1}{a+b}+dfrac{1}{b+c}+dfrac{1}{c+a}=dfrac{47}{60}.$

Tính giá trị của biểu thức   $dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}.$

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình   $sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}+sqrt{1-3x}=2sqrt{{{x}^{2}}+1}.$

b) Giải hệ phương trình   $left{ begin{array}{l}
{x^2} + 3{y^2} – 3x – 1 = 0\
{x^2} – {y^2} – x – 4y + 5 = 0.
end{array} right.$

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $left$Oright$.$ Các đường cao $AK,BM,CN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H.$

a) Chứng minh $widehat{NKH}=widehat{MKH}.$

b) Đường thẳng $MN$ cắt đường tròn $left$Oright$$ tại hai điểm $I,J.$ Chứng minh $AO$ đi qua trung điểm của $IJ.$

c) Gọi $P$ là trung điểm của $BC,$ diện tích tứ giác $AMHN$ là $S.$ Chứng minh  $2.O{{P}^{2}}>S.$

Câu 4 (1,5 điểm).

a)  Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên $left$x,y,zright$$ thỏa mãn $xyzne 0$ và ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{text{z}}^{2}}=0.$

b) Tìm tất cả các số nguyên không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${{left$a-bright$}^{2}}+{{left$b-cright$}^{2}}+{{left$c-aright$}^{2}}=6abc$ và ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+1$ chia hết cho $a+b+c+1.$

Câu 5 (1,5 điểm).

a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $left$x-yright$left$x-zright$=1;,,yne z.$ Chứng minh                 

                                          $dfrac{1}{{{left$x-yright$}^{2}}}+dfrac{1}{{{left$y-zright$}^{2}}}+dfrac{1}{{{left$z-xright$}^{2}}}ge 4.$

b) Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4. Ta thực hiện cách viết thêm các số lên bảng như sau: nếu trên bảng đã có hai số, giả sử là $a,b,;,,ane b$, ta viết thêm lên bảng số có giá trị là $a+b+ab.$ Hỏi với cách thực hiện như vậy, trên bảng có thể xuất hiện số $2016$ được hay không? Giải thích.