Bài 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4.1. Phương pháp đổi biến

4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

4.1.1.1. Định lí

Nếu     1) Hàm $x=u$t$$ có đạo hàm liên tục trên $left$$alpha;,,betaright$$$

             2) Hàm hợp $f$u(t$)$ được xác định trên $left$$alpha;,,betaright$$$,

             3) $u$alpha$=a,,,u$beta$=b$

Khi đó: $I=intlimits_{a}^{b}{f$x$dx}=intlimits_{alpha }^{beta }{f$u(t$){{u}^{‘}}$t$dt}$.

4.1.1.2. Phương pháp chung

    Vậy: $I=intlimits_{a}^{b}{f$x$}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{fleft$$u(t)right$$u'$t$dt}=intlimits_{alpha }^{beta }{g$t$dt}$ $ = G$t$left| begin{array}{l}
beta \
alpha 
end{array} right. = G$beta$ – G$alpha$$

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

4.1.2.1. Định lí

Nếu hàm số $u=u$x$$đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn $left$$a;bright$$$ sao cho  $f$x$dx=gleft$u(x$ right)u'$x$dx=g$u$du$ thì: $I=intlimits_{a}^{b}{f$x$dx}=intlimits_{u$a$}^{u$b$}{g$u$du}$.

4.1.2.2. Phương pháp chung

             Vậy:  $I=intlimits_{a}^{b}{f$x$dx}=intlimits_{a}^{b}{gleft$$u(x)right$$}.u'$x$dx=intlimits_{u$a$}^{u$b$}{g$u$du}$

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

4.2.1. Định lí

Nếu $uleft$xright$$ và $vleft$xright$$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $left$$a;bright$$$ thì:

$intlimits_a^b {u$x$v} ‘$x$d{rm{x}} = $u(x$v$x$)left| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – u'$x$d{rm{x}}$    Hay   $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right.

4.2.2. Phương pháp chung

* Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $fleft$xright$$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của $fleft$xright$dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.