Loading web-font TeX/Main/Regular

Bài 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

4.1. Phương pháp đổi biến

4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

4.1.1.1. Định lí

Nếu     1) Hàm $x=ut$ có đạo hàm liên tục trên $leftalpha;,,betaright$

             2) Hàm hợp $fu(t)$ được xác định trên $leftalpha;,,betaright$,

             3) $ualpha=a,,,ubeta=b$

Khi đó: $I=intlimits_{a}^{b}{fxdx}=intlimits_{alpha }^{beta }{fu(t){{u}^{‘}}tdt}$.

4.1.1.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Đặt $x=ulefttright$
  • Bước 2: Tính vi phân hai vế :    $x=utRightarrow dx=u'tdt$ 

      Đổi cận:   $left| begin{array}{l}
x = b\
x = a
end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
t = beta \
t = alpha 
end{array} right.$

  • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t    

    Vậy: $I=intlimits_{a}^{b}{fx}dx=intlimits_{alpha }^{beta }{fleftu(t)rightu'tdt}=intlimits_{alpha }^{beta }{gtdt}$ $ = Gtleft| begin{array}{l}
beta \
alpha 
end{array} right. = Gbeta – Galpha$

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

4.1.2.1. Định lí

Nếu hàm số $u=ux$đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn $lefta;bright$ sao cho  $fxdx=gleftu(x right)u'xdx=gudu$ thì: $I=intlimits_{a}^{b}{fxdx}=intlimits_{ua}^{ub}{gudu}$.

4.1.2.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Đặt $u=uxRightarrow du={{u}^{‘}}xdx$
  • Bước 2: Đổi cận :  $left| begin{array}{l}
    x = b\
    x = a
    end{array} right. Rightarrow left| begin{array}{l}
    u = ub\
    u = ua
    end{array} right.$
  • Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo $u$

             Vậy:  $I=intlimits_{a}^{b}{fxdx}=intlimits_{a}^{b}{gleftu(x)right}.u'xdx=intlimits_{ua}^{ub}{gudu}$

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

4.2.1. Định lí

Nếu $uleftxright$ và $vleftxright$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $lefta;bright$ thì:

$intlimits_a^b {uxv} ‘xd{rm{x}} = u(xvx)left| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – u'xd{rm{x}}$    Hay   $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l}
b\
a
end{array} right. – intlimits_a^b {vdu} $     Hay   $intlimits_a^b {udv} $ $= uvleft| begin{array}{l} b\ a end{array} right.

– intlimits_a^b {vdu} $

4.2.2. Phương pháp chung

  • Bước 1: Viết $fleftxrightdx$ dưới dạng $udv=u{{v}^{‘}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $fleftxright$ làm $uleftxright$ và phần còn lại $dv=v'xdx$
  • Bước 2: Tính $du=u’dx$  và $v=int{dv}$$=int{v'xdx}$
  • Bước 3: Tính  $intlimits_a^b {vu'xdx} $ và $uvleft| begin{array}{l}
    b\
    a
    end{array} right.$

* Cách đặt u và dv  trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

Lốc-đa-mũ-lượng

$intlimits_{a}^{b}{Px{{e}^{x}}dx}$

$intlimits_{a}^{b}{Pxln xdx}$

$intlimits_{a}^{b}{Pxcos xdx}$

$intlimits_{a}^{b}{{{e}^{x}}cos xdx}$

u

Px

lnx

Px

${{e}^{x}}$

dv

${{e}^{x}}dx$

Pxdx

cosxdx

cosxdx

Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $fleftxright$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{‘}}dx$ là phần của $fleftxrightdx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *