Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=fleft $x r i g h t$ $ xác định trên $K$ ta có:

Hàm số $y=fleft $x r i g h t$ $được gọi là đồng biến $t ă n g$ trên $K$ nếu:
- ${forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft $x_{1} r i g h t$ < fleft $x_{2} r i g h t$ }$
Hàm số $y=fleft $x r i g h t$ $ được gọi là nghịch biến $g i ả m$ trên $K$ nếu:
- ${forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft $x_{1} r i g h t$ > fleft $x_{2} r i g h t$ }$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$

* Nhận xét:

Hàm số $fleft $x r i g h t$ $ đồng biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft $x_{2} r i g h t$ -fleft $x_{1} r i g h t$ }{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,~~{{x}_{1}}ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số $fleft $x r i g h t$ $ nghịch biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft $x_{2} r i g h t$ -fleft $x_{1} r i g h t$ }{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0~~forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,~~{{x}_{1}}ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nếu ${f}’left $x r i g h t$ >0,text{ }forall xin left $a; b r i g h t$ Rightarrow $ hàm số $fleft $x r i g h t$ $ đồng biến trên khoảng $left $a; b r i g h t$ .$
Nếu ${f}’left $x r i g h t$ <0,text{ }forall xin left $a; b r i g h t$ Rightarrow $ hàm số $fleft $x r i g h t$ $ nghịch biến trên khoảng $left $a; b r i g h t$ .$
Nếu ${f}’left $x r i g h t$ =0,text{ }forall xin left $a; b r i g h t$ $$Rightarrow $ hàm số $fleft $x r i g h t$ $ không đổi trên khoảng $left $a; b r i g h t$ .$
Nếu $fleft $x r i g h t$ $ đồng biến trên khoảng $left $a; b r i g h t$ Rightarrow {f}’left $x r i g h t$ ge 0,text{ }forall xin left $a; b r i g h t$ .$
Nếu $fleft $x r i g h t$ $ nghịch biến trên khoảng $left $a; b r i g h t$ Rightarrow {f}’left $x r i g h t$ le 0,forall xin left $a; b r i g h t$ .$
Nếu thay đổi khoảng $left $a; b r i g h t$ $ bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số$fleft $x r i g h t$ $ liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=uleft $x r i g h t$ ,;,,v=vleft $x r i g h t$ ,;,,C,,:$ là hằng số .

Tổng, hiệu: ${{left $u p m v r i g h t$ }^{prime }}={u}’pm {v}’.$
Tích: ${{left $u . v r i g h t$ }^{prime }}={u}’.v+{v}’.uRightarrow ,{{left $C . u r i g h t$ }^{prime }}=C.{u}’.$
Thương: $left $f r a c u v r i g h t$ =frac{{u}’.v-{v}’.u}{{{v}^{2}}},,,,,left $v n e 0 r i g h t$ Rightarrow ,,{{left $f r a c C u r i g h t$ }^{prime }}=-frac{C.{u}’}{{{u}^{2}}}$
Đạo hàm hàm hợp: Nếu $y=fleft $u r i g h t$ ,,,,u=uleft $x r i g h t$ Rightarrow {{{y}’}_{x}}={{{y}’}_{u}}.{{{u}’}_{x}}$.

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp	Đạo hàm của hàm hợp
${{left $C r i g h t$ }^{prime }}=0$ $C l à h ằ n g s ố$ .	${{left $x^{a l p h a} r i g h t$ }^{prime }}=alpha .{{x}^{alpha -1}}$
${{left $x^{a l p h a} r i g h t$ }^{prime }}=alpha .{{x}^{alpha -1}}$ ${{left $f r a c 1 x r i g h t$ }^{prime }}=,-frac{1}{{{x}^{2}}},, $x n e 0$ $ ${{left $s q r t x r i g h t$ }^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}},,left $x > 0 r i g h t$ $	${{left $u^{a l p h a} r i g h t$ }^{prime }}=,alpha .,{{u}^{alpha -1}}.{u}’$ ${{left $f r a c 1 u r i g h t$ }^{prime }}=,-frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}},,left $u n e 0 r i g h t$ $ ${{left $s q r t u r i g h t$ }^{prime }}=frac{{{u}’}}{2sqrt{u}},,left $u > 0 r i g h t$ $
${{left $s i n x r i g h t$ }^{prime }}=,cos ,x$	${{left $s i n u r i g h t$ }^{prime }}=,{u}’.cos ,u$
${{left $c o s x r i g h t$ }^{prime }}=-sin x$	${{left $c o s u r i g h t$ }^{prime }}=-{u}’.sin u$
${{left $t a n x r i g h t$ }^{prime }},=,frac{1}{{{cos }^{2}}x}$	${{left $t a n u r i g h t$ }^{prime }}=,frac{{{u}’}}{{{cos }^{2}}u}$
${{left $c o t x r i g h t$ }^{prime }}=-,frac{1}{{{sin }^{2}}x}$	${{left $c o t u r i g h t$ }^{prime }}=-,frac{{{u}’}}{{{sin }^{2}}u}$
${{left $e^{x} r i g h t$ }^{prime }}=,{{e}^{x}}$	${{left $e^{u} r i g h t$ }^{prime }},=,{u}’.{{e}^{u}}$
${{left $a^{x} r i g h t$ }^{prime }}={{a}^{x}}.ln a$	${{left $a^{u} r i g h t$ }^{prime }}={u}’.{{a}^{u}}.ln a$
${{left $l n l e f t \| x r i g h t \| r i g h t$ }^{prime }}=frac{1}{x}$	${{left $l n l e f t \| u r i g h t \| r i g h t$ }^{prime }}=frac{{{u}’}}{u}$
${{left ${l o g}_{a} l e f t \| x r i g h t \| r i g h t$ }^{prime }}=frac{1}{xln a}$	${{left ${l o g}_{a} l e f t \| u r i g h t \| r i g h t$ }^{prime }}=frac{{{u}’}}{u.ln a}$

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

${left $f r a c a x + b c x + d r i g h t$ ^prime } = frac{{ad – bc}}{{{{left $c x + d r i g h t$ }^2}}}.$

${left $f r a c a x^{2} + b x + c d x^{2} + e x + f r i g h t$ ^prime } = frac{{left| begin{array}{l}
a;;;b\
d;;;e
end{array} right|{x^2} + 2left| begin{array}{l}
a;;;c\
d;;;f
end{array} right|x + left| begin{array}{l}
b;;;c\
e;;;f
end{array} right|}}{{{{left $d x^{2} + e x + f r i g h t$ }^2}}}.$

1.5. Đạo hàm cấp 2

1.5.1. Định nghĩa

${f}”left $x r i g h t$ ={{left $f^{'} l e f t (x r i g h t) r i g h t$ }^{prime }}$

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

Gia tốc tức thời của chuyển động $s=fleft $t r i g h t$ $ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là: $aleft $t_{0} r i g h t$ ={f}”left $t_{0} r i g h t$ .$

1.5.3. Đạo hàm cấp cao

${{f}^{left $n r i g h t$ }}left $x r i g h t$ ={{left $f^{l e f t (n - 1 r i g h t)} l e f t (x r i g h t) r i g h t$ }^{prime }},,,left $n i n m a t h b b N,,,, n g e 2 r i g h t$ $.

* Một số chú ý:

Nếu hàm số $fleft $x r i g h t$ $ và $gleft $x r i g h t$ $ cùng đồng biến $n g h ị c h b i ế n$ trên $K$ thì hàm số $fleft $x r i g h t$ +gleft $x r i g h t$ $ cũng đồng biến $n g h ị c h b i ế n$ trên $K.$ Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $fleft $x r i g h t$ -gleft $x r i g h t$ $.
Nếu hàm số$fleft $x r i g h t$ $ và $gleft $x r i g h t$ $ là các hàm số dương và cùng đồng biến $n g h ị c h b i ế n$ trên $K$ thì hàm số $fleft $x r i g h t$ .gleft $x r i g h t$ $ cũng đồng biến $n g h ị c h b i ế n$ trên $K.$Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $fleft $x r i g h t$ ,gleft $x r i g h t$ $ không là các hàm số dương trên $K.$
Cho hàm số $u=uleft $x r i g h t$ $, xác định với $xin left $a; b r i g h t$ $ và $uleft $x r i g h t$ in left $c; d r i g h t$ $. Hàm số $fleft $u l e f t (x r i g h t) r i g h t$ $ cũng xác định với $xin left $a; b r i g h t$ $ .

Ta có nhận xét sau:

Giả sử hàm số $u=uleft $x r i g h t$ $ đồng biến với $xin left $a; b r i g h t$ $. Khi đó, hàm số $fleft $u l e f t (x r i g h t) r i g h t$ $ đồng biến với $xin left $a; b r i g h t$ Leftrightarrow fleft $u r i g h t$ $ đồng biến với $uin left $c; d r i g h t$ $.
Giả sử hàm số $u=uleft $x r i g h t$ $ nghịch biến với $xin left $a; b r i g h t$ $ . Khi đó, hàm số $fleft $u l e f t (x r i g h t) r i g h t$ $ nghịch biến với $xin left $a; b r i g h t$ Leftrightarrow fleft $u r i g h t$ $nghịch biến với $uin left $c; d r i g h t$ $.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$

Nếu $f’left $x r i g h t$ ge 0$ với mọi $xin K$ và $f’left $x r i g h t$ =0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $xin K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $K$.
Nếu $f’left $x r i g h t$ le 0$ với mọi $xin K$ và $f’left $x r i g h t$ =0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $xin K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $K$.

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=frac{ax+b}{cx+d}text{ }left $x n e - f r a c d c r i g h t$ $ thì dấu $”=”$ khi xét dấu đạo hàm ${y}’$ không xảy ra.

Giả sử $y=fleft $x r i g h t$ =a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dRightarrow {f}’left $x r i g h t$ =3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$

$Leftrightarrow f’left $x r i g h t$ ge 0;forall x in R Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0}\
{Delta le 0}
end{array}{rm{ }}} right.\
left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 0\
c > 0
end{array} right.
end{array} right.$

Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$

$ Leftrightarrow f’left $x r i g h t$ le 0;forall x in R Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0}\
{Delta le 0}
end{array}{rm{ }}} right.\
left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = 0\
c < 0
end{array} right.
end{array} right..$

Trường hợp 2 thì hệ số $c$ khác $0$ vì khi $a=b=c=0$thì$fleft $x r i g h t$ =d$

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng $l$ ta giải như sau:

Bước 1: Tính ${y}’={f}’left $x; m r i g h t$ =a{{x}^{2}}+bx+c.$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $left $x_{1}; x_{2} r i g h t$ Leftrightarrow {y}’=0$ có $2$ nghiệm phân biệt

$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
Delta > 0\
a ne 0
end{array} right.$ $left $* r i g h t$ $

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng $l$

$Leftrightarrow left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=l$$Leftrightarrow {{left $x_{1} + x_{2} r i g h t$ }^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{l}^{2}}$ $Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P={{l}^{2}}$ $left $* * r i g h t$ $

Bước 4: Giải $left $* r i g h t$ $ và giao với $left $* * r i g h t$ $ để suy ra giá trị m cần tìm.

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

1.5. Đạo hàm cấp 2

Bài Viết cùng chủ đề

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 31 – Đs

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 30

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 29

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 28

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 26

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 25

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 24

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 23

Phiếu bài tập tuần Toán 9 – Tuần 22

Để lại một bình luận Hủy