1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên $K$ ta có:
- Hàm số $y=fleft( x right)$được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu:
- ${forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) < fleft( {{x_2}} right)}$
- Hàm số $y=fleft( x right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu:
- ${forall {x_1},{x_2} in K,{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)}$
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$
* Nhận xét:
- Hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,~~{{x}_{1}}ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số $fleft( x right)$ nghịch biến trên K $Leftrightarrow frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0~~forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,~~{{x}_{1}}ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
- Nếu ${f}’left( x right)>0,text{ }forall xin left( a;b right)Rightarrow $ hàm số $fleft( x right)$ đồng biến trên khoảng $left( a;b right).$
- Nếu ${f}’left( x right)<0,text{ }forall xin left( a;b right)Rightarrow $ hàm số $fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $left( a;b right).$
- Nếu ${f}’left( x right)=0,text{ }forall xin left( a;b right)$$Rightarrow $ hàm số $fleft( x right)$ không đổi trên khoảng $left( a;b right).$
- Nếu $fleft( x right)$ đồng biến trên khoảng $left( a;b right)Rightarrow {f}’left( x right)ge 0,text{ }forall xin left( a;b right).$
- Nếu $fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $left( a;b right)Rightarrow {f}’left( x right)le 0,forall xin left( a;b right).$
- Nếu thay đổi khoảng $left( a;b right)$ bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số$fleft( x right)$ liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=uleft( x right),;,,v=vleft( x right),;,,C,,:$ là hằng số .
- Tổng, hiệu: ${{left( upm v right)}^{prime }}={u}’pm {v}’.$
- Tích: ${{left( u.v right)}^{prime }}={u}’.v+{v}’.uRightarrow ,{{left( C.u right)}^{prime }}=C.{u}’.$
- Thương: $left( frac{u}{v} right)=frac{{u}’.v-{v}’.u}{{{v}^{2}}},,,,,left( vne 0 right)Rightarrow ,,{{left( frac{C}{u} right)}^{prime }}=-frac{C.{u}’}{{{u}^{2}}}$
- Đạo hàm hàm hợp: Nếu $y=fleft( u right),,,,u=uleft( x right)Rightarrow {{{y}’}_{x}}={{{y}’}_{u}}.{{{u}’}_{x}}$.
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
|
Đạo hàm của hàm sơ cấp |
Đạo hàm của hàm hợp |
|
${{left( C right)}^{prime }}=0$ (C là hằng số). |
${{left( {{x}^{alpha }} right)}^{prime }}=alpha .{{x}^{alpha -1}}$ |
|
${{left( {{x}^{alpha }} right)}^{prime }}=alpha .{{x}^{alpha -1}}$ ${{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=,-frac{1}{{{x}^{2}}},,(xne 0)$ ${{left( sqrt{x} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}},,left( x>0 right)$ |
${{left( {{u}^{alpha }} right)}^{prime }}=,alpha .,{{u}^{alpha -1}}.{u}’$ ${{left( frac{1}{u} right)}^{prime }}=,-frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}},,left( une 0 right)$ ${{left( sqrt{u} right)}^{prime }}=frac{{{u}’}}{2sqrt{u}},,left( u>0 right)$ |
|
${{left( sin x right)}^{prime }}=,cos ,x$ |
${{left( sin u right)}^{prime }}=,{u}’.cos ,u$ |
|
${{left( cos x right)}^{prime }}=-sin x$ |
${{left( cos u right)}^{prime }}=-{u}’.sin u$ |
|
${{left( tan x right)}^{prime }},=,frac{1}{{{cos }^{2}}x}$ |
${{left( tan u right)}^{prime }}=,frac{{{u}’}}{{{cos }^{2}}u}$ |
|
${{left( cot x right)}^{prime }}=-,frac{1}{{{sin }^{2}}x}$ |
${{left( cot u right)}^{prime }}=-,frac{{{u}’}}{{{sin }^{2}}u}$ |
|
${{left( {{e}^{x}} right)}^{prime }}=,{{e}^{x}}$ |
${{left( {{e}^{u}} right)}^{prime }},=,{u}’.{{e}^{u}}$ |
|
${{left( {{a}^{x}} right)}^{prime }}={{a}^{x}}.ln a$ |
${{left( {{a}^{u}} right)}^{prime }}={u}’.{{a}^{u}}.ln a$ |
|
${{left( ln left| x right| right)}^{prime }}=frac{1}{x}$ |
${{left( ln left| u right| right)}^{prime }}=frac{{{u}’}}{u}$ |
|
${{left( {{log }_{a}}left| x right| right)}^{prime }}=frac{1}{xln a}$ |
${{left( {{log }_{a}}left| u right| right)}^{prime }}=frac{{{u}’}}{u.ln a}$ |
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
- ${left( {frac{{ax + b}}{{cx + d}}} right)^prime } = frac{{ad – bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}.$
${left( {frac{{a{x^2} + bx + c}}{{d{x^2} + ex + f}}} right)^prime } = frac{{left| begin{array}{l}
a;;;b\
d;;;e
end{array} right|{x^2} + 2left| begin{array}{l}
a;;;c\
d;;;f
end{array} right|x + left| begin{array}{l}
b;;;c\
e;;;f
end{array} right|}}{{{{left( {d{x^2} + ex + f} right)}^2}}}.$
1.5. Đạo hàm cấp 2
1.5.1. Định nghĩa
${f}”left( x right)={{left[ {f}’left( x right) right]}^{prime }}$
1.5.2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động $s=fleft( t right)$ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là: $aleft( {{t}_{0}} right)={f}”left( {{t}_{0}} right).$
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
${{f}^{left( n right)}}left( x right)={{left[ {{f}^{left( n-1 right)}}left( x right) right]}^{prime }},,,left( nin mathbb{N},,,,nge 2 right)$.
* Một số chú ý:
- Nếu hàm số $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $fleft( x right)+gleft( x right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K.$ Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $fleft( x right)-gleft( x right)$.
- Nếu hàm số$fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $fleft( x right).gleft( x right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K.$Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $fleft( x right),gleft( x right)$ không là các hàm số dương trên $K.$
- Cho hàm số $u=uleft( x right)$, xác định với $xin left( a;b right)$ và $uleft( x right)in left( c;d right)$. Hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ cũng xác định với $xin left( a;b right)$ .
Ta có nhận xét sau:
- Giả sử hàm số $u=uleft( x right)$ đồng biến với $xin left( a;b right)$. Khi đó, hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ đồng biến với $xin left( a;b right)Leftrightarrow fleft( u right)$ đồng biến với $uin left( c;d right)$.
- Giả sử hàm số $u=uleft( x right)$ nghịch biến với $xin left( a;b right)$ . Khi đó, hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ nghịch biến với $xin left( a;b right)Leftrightarrow fleft( u right)$nghịch biến với $uin left( c;d right)$.
|
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$
Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=frac{ax+b}{cx+d}text{ }left( xne -frac{d}{c} right)$ thì dấu $”=”$ khi xét dấu đạo hàm ${y}’$ không xảy ra. Giả sử $y=fleft( x right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dRightarrow {f}’left( x right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$ |
|
|
Hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ $Leftrightarrow f’left( x right) ge 0;forall x in R Leftrightarrow left[ begin{array}{l} |
Hàm số nghịch biến trên $mathbb{R}$ $ Leftrightarrow f’left( x right) le 0;forall x in R Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
|
|
Trường hợp 2 thì hệ số $c$ khác $0$ vì khi $a=b=c=0$thì$fleft( x right)=d$ (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) |
|
|
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng $l$ ta giải như sau: Bước 1: Tính ${y}’={f}’left( x;m right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$ Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right)Leftrightarrow {y}’=0$ có $2$ nghiệm phân biệt $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng $l$ $Leftrightarrow left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|=l$$Leftrightarrow {{left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{l}^{2}}$ $Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P={{l}^{2}}$ $left( ** right)$ Bước 4: Giải $left( * right)$ và giao với $left( ** right)$ để suy ra giá trị m cần tìm. |
|
