PHIẾU HỌC TẬP TOÁN 8 TUẦN 05
Đại số 8 : §6: Phân tích đa thức thành nhân tử (PP nhân tử chung)
Hình học 8: § 6: Đối xứng trục
Bài 1: Chứng minh các đa thức sau luôn âm với mọi $x$
- $-{{x}^{2}}+6x-15$ c) $(x-3)(1-x)-2$
b) $-9{{x}^{2}}+24x-18$ d) $(x+4)(2-x)-10$
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ${{x}^{2}}yz-{{x}^{3}}{{y}^{3}}z+xy{{z}^{2}}$ b) $4{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x{{y}^{2}}$
c) ${{x}^{2}}\left( m+n \right)-3{{y}^{2}}\left( m+n \right)$ d) $4{{x}^{2}}\left( x-y \right)+9{{y}^{2}}\left( y-x \right)$
e) ${{x}^{2}}\left( a-b \right)+2\left( b-a \right)$ f) $10{{x}^{2}}{{\left( a-2b \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+2 \right){{\left( 2b-a \right)}^{2}}$
g) $50{{x}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{\left( y-x \right)}^{2}}$ h) $15{{a}^{m+2}}b-45{{a}^{m}}b$ $\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có các đường phân giác BD; CE cắt nhau tại O. Qua A vẽ các đường vuông góc với BD và CE, chúng cắt BC theo thứ tự tại N và M. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua OH.
Bài 4: Cho $\Delta ABC$ nhọn có $\widehat{A}=70{}^\circ $và điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Đường thẳng EF cắt AB, AC theo thứ tự M ; N.
- Tính các góc của $\Delta AEF$
- Chứng minh rằng DA là tia phân giác của $\widehat{MDN}$
- Tìm vị trí của điểm D trên cạnh BC để $\Delta DMN$ có chu vi nhỏ nhất.
- Hết –
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1
- $-{{x}^{2}}+6x-15=-({{x}^{2}}-6x+9)-6=-{{(x-3)}^{2}}-6$
Vì $-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\forall x\to -{{\left( x-3 \right)}^{2}}-6\le -6<0\forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $-9{{x}^{2}}+24x-18=-(9{{x}^{2}}-24x+16)-2=-{{(3x-4)}^{2}}-2$
Vì $-{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}\le 0\forall x\to -{{\left( 3x-4 \right)}^{2}}-2\le -2<0\forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $(x-3)(1-x)-2=x-{{x}^{2}}-3+3x-2=-{{x}^{2}}+4x-4-1=-{{(x-2)}^{2}}-1$
Vì $-{{\left( x-2 \right)}^{2}}\le 0\forall x\to -{{\left( x-2 \right)}^{2}}-1\le -1<0\forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
- $(x+4)(2-x)-10=2x-{{x}^{2}}+8-4x-10=-{{x}^{2}}-2x-1-1=-{{(x+1)}^{2}}-1$
Vì $-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\forall x\to -{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1\le -1<0\forall x$
Vậy đa thức trên luôn âm với mọi $x$
Bài 2:
|
a) ${{x}^{2}}yz-{{x}^{3}}{{y}^{3}}z+xy{{z}^{2}}$ $=xyz\left( x-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+z \right)$ |
b) $4{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}-12x{{y}^{2}}$ $=4x\left( {{x}^{2}}+6x-3{{y}^{2}} \right)$ |
|
c) ${{x}^{2}}\left( m+n \right)-3{{y}^{2}}\left( m+n \right)$ $=\left( m+n \right)\left( {{x}^{2}}-3{{y}^{2}} \right)$ $=\left( m+n \right)\left( x-\sqrt{3}y \right)\left( x+\sqrt{3}y \right)$
|
d) $4{{x}^{2}}\left( x-y \right)+9{{y}^{2}}\left( y-x \right)$ $=4{{x}^{2}}\left( x-y \right)-9{{y}^{2}}\left( x-y \right)$ $=\left( x-y \right)\left( 4{{x}^{2}}-9{{y}^{2}} \right)$ $=\left( x-y \right)\left( 2x-3y \right)\left( 2x+3y \right)$ |
|
e) ${{x}^{2}}\left( a-b \right)+2\left( b-a \right)$ $={{x}^{2}}\left( a-b \right)-2\left( a-b \right)$ $=\left( a-b \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ $=\left( a-b \right)\left( x-\sqrt{2} \right)\left( x+\sqrt{2} \right)$ |
f) $10{{x}^{2}}{{\left( a-2b \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+2 \right){{\left( 2b-a \right)}^{2}}$$=10{{x}^{2}}{{\left( a-2b \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+2 \right){{\left( a-2b \right)}^{2}}$ $={{\left( a-2b \right)}^{2}}\left( 10{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-2 \right)$ $={{\left( a-2b \right)}^{2}}\left( 9{{x}^{2}}-2 \right)$ $={{\left( a-2b \right)}^{2}}\left( 3x-\sqrt{2} \right)\left( 3x+\sqrt{2} \right)$ |
|
g) $50{{x}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{\left( y-x \right)}^{2}}$$=50{{x}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}}-8{{y}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}}$ $={{\left( x-y \right)}^{2}}\left( 50{{x}^{2}}-8{{y}^{2}} \right)$ $=2{{\left( x-y \right)}^{2}}\left( 25{{x}^{2}}-4{{y}^{2}} \right)$ $=2{{\left( x-y \right)}^{2}}\left( 5x-2y \right)\left( 5x+2y \right)$ |
h) $15{{a}^{m+2}}b-45{{a}^{m}}b$ $\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ $=15{{a}^{m}}.{{a}^{2}}b-45{{a}^{m}}b$ $\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ $=15{{a}^{m}}b\left( {{a}^{2}}-3 \right)$ $\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ $=15{{a}^{m}}b\left( a-\sqrt{3} \right)\left( a+\sqrt{3} \right)$ $\left( m\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
|
Bài 3
Xét $\Delta AMC$ có CE vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta AMC$ cân tại C (t/c) suy ra CE là trung trực của AM.
Có $O\in CE\Rightarrow $ O nằm trên đường trung trực của AM$\Rightarrow OA=OM(t/c)$ (1)
Xét $\Delta ABN$ có BD vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta ABN$ cân tại B (t/c) suy ra BD là trung trực của AN.
Từ (1); (2) suy ra OM = ON.Có $O\in BD\Rightarrow $ O nằm trên đường trung trực của AN$\Rightarrow OA=ON(t/c)$ (2)
Xét $\Delta OMN$có OM = ON (cmt) suy ra $\Delta OMN$cân (đ/l)
$OH\bot BC\Rightarrow $ OH là đường cao đồng thời là đường trung trực của MN suy ra M và N đối xứng với nhau qua OH.
Bài 4:
a)
Gọi $DE,DF$lần lượt cắt $AB,AC$ tại $P,Q$
+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có $PE=PD,DE\bot AB$
Xét $\Delta AEP$ và $\Delta ADP$có:
$AP$ chung
$\begin{array}{l}
\widehat {APE} = \widehat {APD}\left( { = {{90}^0}} \right)\\
PE = PD\left( {cmt} \right)
\end{array}$
$\Rightarrow \Delta APE=\Delta APD\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow \widehat{EAP}=\widehat{DAP}$(hai góc tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{FAQ}=\widehat{DAQ}$
+ Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có:
$AE=AD,AD=\text{AF}\Rightarrow \text{AE = AF}\Rightarrow \Delta AEF$cân tại $A$ $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{\text{AF}E}=\frac{{{180}^{0}}-{{140}^{0}}}{2}={{20}^{0}}$.
b)
+ Dễ chứng minh được:
$\Delta MEP=\Delta MDP\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{MEP}=\widehat{MDP}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\widehat {AEP} = \widehat {AEM} + \widehat {MEP}\\
\widehat {ADP} = \widehat {ADM} + \widehat {MDP}
\end{array}$
Mà $\widehat{AEP}=\widehat{ADP}\left( cmt \right)$
$\widehat{MEP}=\widehat{MDP}$(cmt)
$\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{ADM}$
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{\text{AF}N}=\widehat{ADN}$
Mà $\widehat{AEM}=\widehat{\text{AF}N}\left( cmt \right)$ $\Rightarrow \widehat{ADM}=\widehat{ADN}$
$\Rightarrow DA$ là tia phân giác của $\widehat{MDN}.$
c) ${{P}_{DMN}}=DM+DN+MN=EM+FN+MN=\text{EF}$
Nên ${{P}_{DMN}}\min \Leftrightarrow \text{EF}\,\text{min}$
Theo tính chất đối xứng trục, ta có:
$AD=AE=AF$, $\widehat{EAF}=2\widehat{BAD}+2\widehat{DAC}=2\widehat{BAC}<2.90{}^\circ =180{}^\circ $
Như vậy, $\Delta AEF$ cân tại $A$, $\widehat{EAF}=2\widehat{BAC}$ (không đổi) và cạnh bên có độ dài thay đổi bằng $AD$.
Cạnh đáy $\text{EF}$ min khi cạnh bên $AD$ có độ dài ngắn nhất, tức $AD\bot BC$, nghĩa là $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ của $\Delta ABC$
- Hết -
