Câu 1. (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức $T=\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)$
b) Cho $x+\sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Lời giải
a) Điều kiện:
Ta có: $\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$
Và $\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1=\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}.$
Nên $T=\dfrac{2\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}:\dfrac{-2\left( \sqrt{a}+1 \right)}{ab-1}=-\sqrt{ab}.$
b) Ta có : $x+\sqrt{3}=2\Leftrightarrow 2-x=\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2-x \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$
$H=\left( {{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}} \right)+\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$
Suy ra: $H={{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)+2018.$
Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}}) $ sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+2{{m}^{2}}+1=0\text{ }(1)$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì phương trình (1) có hai nghiệm.
$\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 2.$
Vậy với $0\le m\le 2$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$
Khi đó theo định lý Viet thì
Ta có:
Do đó
$\begin{gathered}
T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{m^2} - 1 - {x_1}{x_2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\
= 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2 = - 2{m^2} + 4m = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2},\forall m \in \left[ {0,2} \right]. \hfill \\
\end{gathered} $
Đặt $t=m-1$. Do $m\in \left[ 0,2 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1,1 \right]\Rightarrow {{t}^{2}}\in \left[ 0,1 \right].$
Nên $T=2-2{{\left( m-1 \right)}^{2}}=2-2{{t}^{2}}\ge 0.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi \[{{t}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow m=0;m=2.\]
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình:
Lời giải
a) Điều kiện: $x\ge \dfrac{7}{3}.$
Ta có: $\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{6\left( x-3 \right)}{\sqrt{6x-14}+2}-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)=0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 3 = 0\\
\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \frac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
VT\left( * \right) < \frac{7}{2}\\
VP\left( * \right) > \frac{{16}}{3}
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\forall x \ge \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\left( * \right)VN.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
b) $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x^2} + 1} \right)({y^2} + 1) = 10\\
\left( {x + y} \right)\left( {xy - 1} \right) = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 = 10\\
\left( {x + y} \right)\left( {xy - 1} \right) = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {xy - 1} \right)^2} = 10\\
\left( {x + y} \right)\left( {xy - 1} \right) = 3
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( I \right)$
Đặt
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y = u\\
xy - 1 = v
\end{array} \right.$
Khi đó, ta có:
$\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\\
uv = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 10\\
uv = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {u + v} \right)^2} = 16\\
uv = 3
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 4\\
uv = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u + v = - 4\\
uv = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = 1\\
v = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u = 3\\
v = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
v = - 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
u = - 3\\
v = - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Với $\left\{ \begin{array}{l}
u = 1\\
v = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 1\\
xy = 4
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {HPTVN} \right)$
Với $\left\{ \begin{array}{l}
u = 3\\
v = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\\
xy = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Với $\left\{ \begin{array}{l}
u = - 1\\
v = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = - 1\\
xy = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2\\
y = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Với $\left\{ \begin{array}{l}
u = - 3\\
v = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = - 3\\
xy = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = - 3
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 3\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: $\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right),\left( 1;-2 \right),\left( -2;1 \right),\left( 0;-3 \right),\left( -3;0 \right)$
