Câu 1. (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức $T=left( dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1 right):left( dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1 right)$
b) Cho $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Lời giải
a) Điều kiện:
Ta có: $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1=dfrac{2sqrt{ab}left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}.$
Và $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1=dfrac{-2left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}.$
Nên $T=dfrac{2sqrt{ab}left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}:dfrac{-2left( sqrt{a}+1 right)}{ab-1}=-sqrt{ab}.$
b) Ta có : $x+sqrt{3}=2Leftrightarrow 2-x=sqrt{3}Rightarrow {{left( 2-x right)}^{2}}=3Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$
$H=left( {{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}} right)+left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{2}} right)+5left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+2018.$
Suy ra: $H={{x}^{3}}left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+5left( {{x}^{2}}-4x+1 right)+2018.$
Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=left( m+1 right)x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}}) $ sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=left( m+1 right)x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+2{{m}^{2}}+1=0text{ }(1)$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì phương trình (1) có hai nghiệm.
$Delta ‘ge 0Leftrightarrow {{left( m+1 right)}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow 0le mle 2.$
Vậy với $0le mle 2$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$
Khi đó theo định lý Viet thì
Ta có:
Do đó
$begin{gathered}
T = {y_1} + {y_2} – {x_1}{x_2} = left( {m + 1} right)left( {{x_1} + {x_2}} right) – 2{m^2} – 1 – {x_1}{x_2}sqrt {{a^2} + {b^2}} hfill \
= 2{left( {m + 1} right)^2} – 4{m^2} – 2 = – 2{m^2} + 4m = 2 – 2{left( {m – 1} right)^2},forall m in left[ {0,2} right]. hfill \
end{gathered} $
Đặt $t=m-1$. Do $min left[ 0,2 right]Rightarrow tin left[ -1,1 right]Rightarrow {{t}^{2}}in left[ 0,1 right].$
Nên $T=2-2{{left( m-1 right)}^{2}}=2-2{{t}^{2}}ge 0.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi [{{t}^{2}}=1Leftrightarrow {{left( m-1 right)}^{2}}=1Leftrightarrow m=0;m=2.]
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình:
Lời giải
a) Điều kiện: $xge dfrac{7}{3}.$
Ta có: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5Leftrightarrow sqrt{x+1}-2+sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$Leftrightarrow dfrac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6left( x-3 right)}{sqrt{6x-14}+2}-left( x-3 right)left( x+3 right)=0.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
frac{1}{{sqrt {x + 1} + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14} + 2}} – left( {x + 3} right) = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
frac{1}{{sqrt {x + 1} + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14} + 2}} = left( {x + 3} right){rm{ }}left( * right)
end{array} right.$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
VTleft( * right) < frac{7}{2}\
VPleft( * right) > frac{{16}}{3}
end{array} right.{rm{ }}left( {forall x ge frac{7}{3}} right) Rightarrow {rm{ }}PTleft( * right)VN.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
b) $left{ begin{array}{l}
left( {{x^2} + 1} right)({y^2} + 1) = 10\
left( {x + y} right)left( {xy – 1} right) = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 = 10\
left( {x + y} right)left( {xy – 1} right) = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {x + y} right)^2} + {left( {xy – 1} right)^2} = 10\
left( {x + y} right)left( {xy – 1} right) = 3
end{array} right.{rm{ }}left( I right)$
Đặt
$left{ begin{array}{l}
x + y = u\
xy – 1 = v
end{array} right.$
Khi đó, ta có:
$left( I right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {u + v} right)^2} – 2uv = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left( {u + v} right)^2} = 16\
uv = 3
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u + v = 4\
uv = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u + v = – 4\
uv = 3
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = – 1\
v = – 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = – 3\
v = – 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 1\
xy = 4
end{array} right.{rm{ }}left( {HPTVN} right)$
Với $left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 3\
xy = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 1\
y = 2
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = – 1\
v = – 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = – 1\
xy = – 2
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = – 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = – 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = – 3\
v = – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = – 3\
xy = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 0\
y = – 3
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = – 3\
y = 0
end{array} right.
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: $left( 1;2 right),left( 2;1 right),left( 1;-2 right),left( -2;1 right),left( 0;-3 right),left( -3;0 right)$
