Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Bình Phước năm 2018 – trang 1

Câu 1. (2,0 điểm).

    a)  Rút gọn biểu thức $T=left$dfracsqrta+1sqrtab+1+dfracsqrtab+sqrtasqrtab-1-1right$:left$dfracsqrta+1sqrtab+1-dfracsqrtab+sqrtasqrtab-1+1right$$

    b)  Cho  $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức:     $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$

Lời giải

a) Điều kiện:

Ta có: $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1=dfrac{2sqrt{ab}left$sqrta+1right$}{ab-1}.$

Và $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1=dfrac{-2left$sqrta+1right$}{ab-1}.$

Nên $T=dfrac{2sqrt{ab}left$sqrta+1right$}{ab-1}:dfrac{-2left$sqrta+1right$}{ab-1}=-sqrt{ab}.$

b) Ta có : $x+sqrt{3}=2Leftrightarrow 2-x=sqrt{3}Rightarrow {{left$2-xright$}^{2}}=3Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$

$H=left$x^5-4x^4+x^{3}right$+left$x^4-4x^3+x^{2}right$+5left$x^2-4x+1right$+2018.$

Suy ra: $H={{x}^{3}}left$x^2-4x+1right$+{{x}^{2}}left$x^2-4x+1right$+5left$x^2-4x+1right$+2018.$

Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$

Câu 2. ( 1,0 điểm).  Cho Parabol $$P$:y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $$d$:y=left$m+1right$x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}$ $\$m\$làthamsố$. 

    Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $$d$$ cắt Parabol $$P$$ tại hai điểm $A$x_1;y_1$,B$x_2;y_2$ $ sao cho biểu thức   

    $T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=left$m+1right$x-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2left$m+1right$x+2{{m}^{2}}+1=0text{    }$1$$

Để $$d$$ cắt $$P$$ tại hai điểm $A$x_1;y_1$,B$x_2;y_2$$ thì phương trình $1$ có hai nghiệm.

 $Delta ‘ge 0Leftrightarrow {{left$m+1right$}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow 0le mle 2.$

Vậy với $0le mle 2$ thì đường thẳng $$d$$ cắt Parabol $$P$$ tại hai điểm $A$x_1;y_1$,B$x_2;y_2$$

Khi đó theo định lý Viet thì

Ta có:

Do đó

$begin{gathered}
  T = {y_1} + {y_2} – {x_1}{x_2} = left$m+1right$left$x_1+x_{2}right$ – 2{m^2} – 1 – {x_1}{x_2}sqrt {{a^2} + {b^2}}  hfill \
   = 2{left$m+1right$^2} – 4{m^2} – 2 =  – 2{m^2} + 4m = 2 – 2{left$m–1right$^2},forall m in left$$0,2right$$. hfill \ 
end{gathered} $

Đặt  $t=m-1$. Do $min left$$0,2right$$Rightarrow tin left$$-1,1right$$Rightarrow {{t}^{2}}in left$$0,1right$$.$

Nên $T=2-2{{left$m-1right$}^{2}}=2-2{{t}^{2}}ge 0.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi $$t^2=1Leftrightarrow{left(m-1right)}^2=1Leftrightarrowm=0;m=2.$$

Câu 3. (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$

    b) Giải hệ phương trình:

Lời giải

a) Điều kiện: $xge dfrac{7}{3}.$

Ta có: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5Leftrightarrow sqrt{x+1}-2+sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$Leftrightarrow dfrac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6left$x-3right$}{sqrt{6x-14}+2}-left$x-3right$left$x+3right$=0.$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
frac{1}{{sqrt {x + 1}  + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14}  + 2}} – left$x+3right$ = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
frac{1}{{sqrt {x + 1}  + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14}  + 2}} = left$x+3right${rm{    }}left$\ast right$
end{array} right.$

Ta có: $left{ begin{array}{l}
VTleft$\ast right$ < frac{7}{2}\
VPleft$\ast right$ > frac{{16}}{3}
end{array} right.{rm{    }}left$forallxgefrac73right$ Rightarrow {rm{ }}PTleft$\ast right$VN.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$

b) $left{ begin{array}{l}
left$x^2+1right$$y^2+1$ = 10\
left$x+yright$left$xy–1right$ = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 = 10\
left$x+yright$left$xy–1right$ = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left$x+yright$^2} + {left$xy–1right$^2} = 10\
left$x+yright$left$xy–1right$ = 3
end{array} right.{rm{  }}left$Iright$$

Đặt 

$left{ begin{array}{l}
x + y = u\
xy – 1 = v
end{array} right.$

Khi đó, ta có:

$left$Iright$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left$u+vright$^2} – 2uv = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left$u+vright$^2} = 16\
uv = 3
end{array} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u + v = 4\
uv = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u + v =  – 4\
uv = 3
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u =  – 1\
v =  – 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u =  – 3\
v =  – 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 1\
xy = 4
end{array} right.{rm{  }}left$HPTVNright$$

Với $left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 3\
xy = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 1\
y = 2
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u =  – 1\
v =  – 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y =  – 1\
xy =  – 2
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = 1\
y =  – 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x =  – 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u =  – 3\
v =  – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y =  – 3\
xy = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 0\
y =  – 3
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x =  – 3\
y = 0
end{array} right.
end{array} right.$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là:  $left$1;2right$,left$2;1right$,left$1;-2right$,left$-2;1right$,left$0;-3right$,left$-3;0right$$