Câu 1. (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức $T=left
b) Cho $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Lời giải
a) Điều kiện:
Ta có: $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1=dfrac{2sqrt{ab}left
Và $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1=dfrac{-2left
Nên $T=dfrac{2sqrt{ab}left
b) Ta có : $x+sqrt{3}=2Leftrightarrow 2-x=sqrt{3}Rightarrow {{left
$H=left
Suy ra: $H={{x}^{3}}left
Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $
Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=left
Để $
$Delta ‘ge 0Leftrightarrow {{left
Vậy với $0le mle 2$ thì đường thẳng $
Khi đó theo định lý Viet thì
Ta có:
Do đó
$begin{gathered}
T = {y_1} + {y_2} – {x_1}{x_2} = left
= 2{left
end{gathered} $
Đặt $t=m-1$. Do $min left
Nên $T=2-2{{left
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình:
Lời giải
a) Điều kiện: $xge dfrac{7}{3}.$
Ta có: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5Leftrightarrow sqrt{x+1}-2+sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$Leftrightarrow dfrac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6left
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
frac{1}{{sqrt {x + 1} + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14} + 2}} – left
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
frac{1}{{sqrt {x + 1} + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14} + 2}} = left
end{array} right.$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
VTleft
VPleft
end{array} right.{rm{ }}left
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$
b) $left{ begin{array}{l}
left
left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 = 10\
left
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left
left
end{array} right.{rm{ }}left
Đặt
$left{ begin{array}{l}
x + y = u\
xy – 1 = v
end{array} right.$
Khi đó, ta có:
$left
{u^2} + {v^2} = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{left
uv = 3
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u + v = 4\
uv = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u + v = – 4\
uv = 3
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = – 1\
v = – 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = – 3\
v = – 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 1\
xy = 4
end{array} right.{rm{ }}left
Với $left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 3\
xy = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 1\
y = 2
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = – 1\
v = – 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = – 1\
xy = – 2
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = 1\
y = – 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x = – 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$
Với $left{ begin{array}{l}
u = – 3\
v = – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = – 3\
xy = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 0\
y = – 3
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = – 3\
y = 0
end{array} right.
end{array} right.$
Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: $left