Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

Lời giải đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Bình Phước năm 2018 – trang 1

Câu 1. (2,0 điểm).

    a)  Rút gọn biểu thức $T=leftdfracsqrta+1sqrtab+1+dfracsqrtab+sqrtasqrtab11right:leftdfracsqrta+1sqrtab+1dfracsqrtab+sqrtasqrtab1+1right$

    b)  Cho  $x+sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức:     $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$

Lời giải

a) Điều kiện:

Ta có: $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}+dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}-1=dfrac{2sqrt{ab}leftsqrta+1right}{ab-1}.$

Và $dfrac{sqrt{a}+1}{sqrt{ab}+1}-dfrac{sqrt{ab}+sqrt{a}}{sqrt{ab}-1}+1=dfrac{-2leftsqrta+1right}{ab-1}.$

Nên $T=dfrac{2sqrt{ab}leftsqrta+1right}{ab-1}:dfrac{-2leftsqrta+1right}{ab-1}=-sqrt{ab}.$

b) Ta có : $x+sqrt{3}=2Leftrightarrow 2-x=sqrt{3}Rightarrow {{left2xright}^{2}}=3Leftrightarrow 4-4x+{{x}^{2}}=3Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+1=0.$

$H=leftx54x4+x3right+leftx44x3+x2right+5leftx24x+1right+2018.$

Suy ra: $H={{x}^{3}}leftx24x+1right+{{x}^{2}}leftx24x+1right+5leftx24x+1right+2018.$

Do ${{x}^{2}}-4x+1=0$ nên $H=2018.$

Câu 2. ( 1,0 điểm).  Cho Parabol $P:y=dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=leftm+1rightx-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}$ $m$làthams

    Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d$ cắt Parabol $P$ tại hai điểm $Ax1;y1,Bx2;y2 $ sao cho biểu thức   

    $T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: $dfrac{1}{2}{{x}^{2}}=leftm+1rightx-{{m}^{2}}-dfrac{1}{2}Leftrightarrow {{x}^{2}}-2leftm+1rightx+2{{m}^{2}}+1=0text{    }1$

Để $d$ cắt $P$ tại hai điểm $Ax1;y1,Bx2;y2$ thì phương trình 1 có hai nghiệm.

 $Delta ‘ge 0Leftrightarrow {{leftm+1right}^{2}}-2{{m}^{2}}-1=2m-{{m}^{2}}ge 0Leftrightarrow 0le mle 2.$

Vậy với $0le mle 2$ thì đường thẳng $d$ cắt Parabol $P$ tại hai điểm $Ax1;y1,Bx2;y2$

Khi đó theo định lý Viet thì

Ta có:

 

Do đó

$begin{gathered}
  T = {y_1} + {y_2} – {x_1}{x_2} = leftm+1rightleftx1+x2right – 2{m^2} – 1 – {x_1}{x_2}sqrt {{a^2} + {b^2}}  hfill \
   = 2{leftm+1right^2} – 4{m^2} – 2 =  – 2{m^2} + 4m = 2 – 2{leftm1right^2},forall m in left0,2right. hfill \ 
end{gathered} $

Đặt  $t=m-1$. Do $min left0,2rightRightarrow tin left1,1rightRightarrow {{t}^{2}}in left0,1right.$

Nên $T=2-2{{leftm1right}^{2}}=2-2{{t}^{2}}ge 0.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi t2=1Leftrightarrowleft(m1right)2=1Leftrightarrowm=0;m=2.

 

Câu 3. (2,0 điểm).

    a) Giải phương trình: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$

    b) Giải hệ phương trình:

Lời giải

a) Điều kiện: $xge dfrac{7}{3}.$

Ta có: $sqrt{x+1}+sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5Leftrightarrow sqrt{x+1}-2+sqrt{6x-14}-2={{x}^{2}}-9.$$Leftrightarrow dfrac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+dfrac{6leftx3right}{sqrt{6x-14}+2}-leftx3rightleftx+3right=0.$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x – 3 = 0\
frac{1}{{sqrt {x + 1}  + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14}  + 2}} – leftx+3right = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 3\
frac{1}{{sqrt {x + 1}  + 2}} + frac{6}{{sqrt {6x – 14}  + 2}} = leftx+3right{rm{    }}leftright
end{array} right.$

Ta có: $left{ begin{array}{l}
VTleftright < frac{7}{2}\
VPleftright > frac{{16}}{3}
end{array} right.{rm{    }}leftforallxgefrac73right Rightarrow {rm{ }}PTleftrightVN.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$

b) $left{ begin{array}{l}
leftx2+1righty2+1 = 10\
leftx+yrightleftxy1right = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{x^2}{y^2} + {x^2} + {y^2} + 1 = 10\
leftx+yrightleftxy1right = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{leftx+yright^2} + {leftxy1right^2} = 10\
leftx+yrightleftxy1right = 3
end{array} right.{rm{  }}leftIright$

Đặt 

$left{ begin{array}{l}
x + y = u\
xy – 1 = v
end{array} right.$

Khi đó, ta có:

$leftIright Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u^2} + {v^2} = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{leftu+vright^2} – 2uv = 10\
uv = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{leftu+vright^2} = 16\
uv = 3
end{array} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u + v = 4\
uv = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u + v =  – 4\
uv = 3
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u =  – 1\
v =  – 3
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
u =  – 3\
v =  – 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u = 1\
v = 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 1\
xy = 4
end{array} right.{rm{  }}leftHPTVNright$

Với $left{ begin{array}{l}
u = 3\
v = 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y = 3\
xy = 2
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 1\
y = 2
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x = 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u =  – 1\
v =  – 3
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y =  – 1\
xy =  – 2
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
x = 1\
y =  – 2
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
x =  – 2\
y = 1
end{array} right.
end{array} right.$

Với $left{ begin{array}{l}
u =  – 3\
v =  – 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x + y =  – 3\
xy = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x = 0\
y =  – 3
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x =  – 3\
y = 0
end{array} right.
end{array} right.$

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là:  $left1;2right,left2;1right,left1;2right,left2;1right,left0;3right,left3;0right$

 

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *