Câu 31.Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty \,;\,1 \right)$ và $\left( 1\,;\,+\infty \right)$
$\Rightarrow {y}'<0$, $\forall x\ne 1$.
Câu 32.Chọn A
Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $CD$, $AD$, $AC$.
Ta có, ${{G}_{1}}$, ${{G}_{2}}$, ${{G}_{4}}$ lần lượt là trọng tâm của $\Delta ABC$, $\Delta ABD$, $\Delta BCD$ nên $\frac{B{{G}_{1}}}{BP}=\frac{2}{3}$, $\frac{B{{G}_{2}}}{BN}=\frac{2}{3}$ và $\frac{B{{G}_{4}}}{BM}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}} \right)//\left( ACD \right)$và $\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}}\backsim \Delta PNM$theo tỉ số $\frac{2}{3}$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}}}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}.{{S}_{\Delta PNM}}=\frac{4}{9}.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}.{{S}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{9}.{{S}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{9}.\left( \frac{1}{2}.9a.12a \right)=6{{a}^{2}}$.
Ta lại có, $\frac{M{{G}_{4}}}{MB}=\frac{1}{3}$; $\frac{M{{G}_{3}}}{MA}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow {{G}_{3}}{{G}_{4}}//AB$và ${{G}_{3}}{{G}_{4}}=\frac{1}{3}AB=2a$.
Do $AB\bot \left( ACD \right)$ nên ${{G}_{3}}{{G}_{4}}\bot \left( ACD \right)$, mà $\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}} \right)//\left( ACD \right)$$\Rightarrow {{G}_{3}}{{G}_{4}}//\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}} \right)$.
$\Rightarrow {{V}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}}}=\frac{1}{3}.{{G}_{3}}{{G}_{4}}.{{S}_{\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{4}}}}=\frac{1}{3}.2a.6{{a}^{2}}=4{{a}^{3}}$.
Cách 2: (Đắc Nguyễn)
Dễ thấy tứ diện ${{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}$ đồng dạng tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $\frac{1}{3}$ (chẳng hạn ${{G}_{2}}{{G}_{3}}=\frac{1}{3}BC$,…) nên $\Rightarrow {{V}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}}}={{(\frac{1}{3})}^{3}}.{{V}_{ABCD}}={{(\frac{1}{3})}^{3}}.\frac{1}{6}.6a.9a.12a=4{{a}^{3}}$
Câu 33.Chọn D
Đồ thị trên có dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ với hệ số $a>0$.
Vậy chọn phương án $\text{D}$.
Câu 34.Chọn D
Ta có $M\left( a;b;c \right)\in \left( Oxy \right)$ nên $c=0$. Do đó $M\left( a;b;0 \right)$.
$\overrightarrow{MA}=\left( 1-a;-1-b;2 \right)$, $\overrightarrow{MB}=\left( -2-a;-b;3 \right)$, $\overrightarrow{MC}=\left( -a;1-b;-2 \right)$
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left( 1-a \right)\left( -2-a \right)+\left( -1-b \right)\left( -b \right)+6={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4$
$\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=\left( -2-a \right)\left( -a \right)+\left( -b \right)\left( 1-b \right)-6={{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6$
$\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\left( -a \right)\left( 1-a \right)+\left( 1-b \right)\left( -1-b \right)-4={{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5$
Suy ra$S={{a}^{2}}+a+{{b}^{2}}+b+4+2\left( {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b-6 \right)+3\left( {{a}^{2}}-a+{{b}^{2}}-5 \right)=6{{a}^{2}}+2a+6{{b}^{2}}-b-23$
$S=6{{\left( a+\frac{1}{6} \right)}^{2}}+6{{\left( b-\frac{1}{12} \right)}^{2}}-\frac{557}{24}\ge -\frac{557}{24}$.
Do đó $S$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{557}{24}$ khi $a=-\frac{1}{6}$ và $b=\frac{1}{12}$
Khi đó $T=12a+12b+c=12.\left( -\frac{1}{6} \right)+12.\frac{1}{12}+0=-1$.
Câu 35.Chọn C
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{-x\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1}=\frac{2-0}{-\sqrt{1+0}-1}=-1$.
Câu 36.Chọn B
Câu 37.Chọn D
Hàm số $y={{\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}^{4}}$ có số mũ nguyên dương.
Do đó hàm số này xác định khi $4{{x}^{2}}-1$ xác định.
Mà $4{{x}^{2}}-1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy hàm số $y={{\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}^{4}}$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}.$
Câu 38.Chọn D
Xét hàm số $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+13$ trên $\left[ -2;3 \right]$.
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-2x$.
$y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left( { - 2;3} \right)\\
x = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt 2 }} \in \left( { - 2;3} \right)
\end{array} \right..$
$y(-2)=25$, $y(0)=13$, $y\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\frac{51}{4}$, $y(3)=85$.
Vậy $m=\frac{51}{4}$.
Câu 39.Chọn A
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ giới hạn bởi các đường $y={{x}^{2}}+3,$$y=0,$$x=0,$$x=2$ xung quanh trục $Ox$ là $V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{2}}\text{d}x}$.
Câu 40 .Chọn D
Ta có $I=\int\limits_{0}^{\pi }{xf\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( {{x}^{2}} \right)\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{f\left( u \right)\text{du}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}.2018=1009$.
Câu 41.Chọn A
Có $300$ số tự nhiên nhỏ hơn $300$ nên $n\left( \Omega \right)=300$.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn $300$ mà chia hết cho$3$là: $\left( 297-0 \right):3+1=100$.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn $300$ mà không chia hết cho$3$là: $300-100=200$nên $n\left( A \right)=200$.
Vậy $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}$.
Câu 42.Chọn C
Ta có $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{{x^2} = \frac{{ - b}}{{2a}}}
\end{array}} \right.$
Để hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$có $3$ điểm cực trị $\Leftrightarrow $Phương trình ${y}'=0$ có $3$nghiệm phân biệt và ${y}'$đổi dấu khi đi qua nghiệm đó $\Leftrightarrow \frac{-b}{2a}>0\Leftrightarrow ab<0$
Câu 43.Chọn C
Tọa độ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$là $I\left( -3;-1;1 \right)$.
Câu 44.Chọn B
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-4$ và $y''=2x-2m$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ suy ra $y'\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 5
\end{array} \right.$
Thử lại:
- Với $m=1$ thì $y''\left( 3 \right)=4>0$, suy ra $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số.
- Với $m=5$ thì $y''\left( 3 \right)=-4<0$, suy ra $x=3$ là điểm cực đại của hàm số.
Vậy $m=5$ là giá trị cần tìm.
Câu 45.Chọn C
Ta có ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)cos\,(\pi x)dx=\frac{\pi }{2}}$.
Đặt $u=\text{cos}(\pi x)\Rightarrow du=-\pi \sin (\pi x)$, $dv={f}'(x)dx$ chọn $v=f(x)$.
$\Rightarrow {{I}_{1}}=f(x)\text{cos}\,\text{(}\pi x)\mathop{|}_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{\pi f(x)\sin (\pi x)dx=-f(1)-f(0)+\pi }\int\limits_{0}^{1}{f(x)\sin (\pi x)dx}=\frac{\pi }{2}.$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)sin(\pi x)dx=\frac{1}{2}}$.
Ta có ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx=\frac{1}{2}}\Rightarrow {{I}_{1}}={{I}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)\sin (\pi x)dx=\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}}$.
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ {{f}^{2}}(x)-f(x)\sin (\pi x) \right]\,}dx=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)-f(x)\sin (\pi x)=0\Leftrightarrow f(x)\left[ f(x)-\sin \left( \pi x \right) \right]=0$.
$\Leftrightarrow f(x)=0$ hoặc $f(x)-\sin \left( \pi x \right)=0$. Vì ${{I}_{1}}\ne 0$ và ${{I}_{2}}\ne 0$ nên $f(x)=0$ loại.
$\Leftrightarrow f(x)-\sin \left( \pi x \right)=0\Leftrightarrow f(x)=\sin \left( \pi x \right)$.
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx=\int\limits_{0}^{1}{\sin (\pi x)dx=-\frac{\text{cos(}\pi \text{x)}}{\pi }}}\mathop{|}_{0}^{1}=\frac{2}{\pi }$.
Câu 46 .Chọn A
Đặt $t=\sin x+\cos x$. Điều kiện $\left| t \right|\le \sqrt{2}$. $\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x.\cos x\Rightarrow \sin x.\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
Khi đó phương trình $\sin x.\cos x+2(\sin x+\cos x)=2$ trở thành: $\frac{{{t}^{2}}-1}{2}+2t=2$.
$ \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = - 5}
\end{array}} \right.$
. Đối chiếu điều kiện $t=1$ thỏa mãn.
$\Leftrightarrow \sin x+\cos x=1\Rightarrow \sin 2x=0$. Vì ${{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình nên $\sin 2{{x}_{0}}=0\Rightarrow P=3$.
Câu 47.Chọn A
$S=4\pi {{r}^{2}}=4.\pi {{.3}^{2}}=36\pi \,\left( c{{m}^{2}} \right)$.
$V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.3}^{3}}=36\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Câu 48.Chọn B
Gọi $I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}};{{z}_{I}} \right)$ là trung điểm của $AB$. Khi đó
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\
{y_I} = \frac{{ - 4 + 2}}{2} = - 1\\
{z_I} = \frac{{3 + 7}}{2} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2; - 1;5} \right)$
Câu 49.Chọn B
$\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{dx}}}}{{3x - 2}}} = \frac{1}{3}\ln |3x - 2|\left| \begin{array}{l}
2\\
1
\end{array} \right. = \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{3}\ln 1 = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{2}{3}\ln 2$
Câu 50 .Chọn B
Ta có: $y={{x}^{3}}+2x+1$$\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+2$
