Lời giải đề 7- trang 2

9.a

Vẽ hình đúng câu a)

Ta có $\widehat{ACN}=\frac{1}{2}\text{s}\overset\frown{AN}=\frac{1}{2}\text{s}\overset\frown{DN}=\widehat{DMN}\,\left( * \right)$.

Xét tứ giác $MCKH$ có $\widehat{KCH}=\widehat{KMH}$ (do $\,\left( * \right)$). Do đó, tứ giác $MCKH$ nội tiếp.

9.b

Do tứ giác $MCKH$ nội tiếp nên $\widehat{HKM}=\widehat{HCM}=\frac{1}{2}\text{s}\overset\frown{AM}=\widehat{ADM}$.

Suy ra, $HK\text{//}AD$ (hai góc đồng vị).

9.c

Ta có $\widehat{CKM}=\frac{1}{2}\left( \text{s}\overset\frown{MC}+\text{s}\overset\frown{DN} \right)$; $\widehat{MCK}=\frac{1}{2}\left( \text{s}\overset\frown{MA}+\text{s}\overset\frown{AN} \right)=\frac{1}{2}\left( \text{s}\overset\frown{MC}+\text{s}\overset\frown{DN} \right)$.

$\Rightarrow \widehat{MKC}=\widehat{MCK}$$\Rightarrow \Delta MCK$ cân tại $M$$\Rightarrow MC=MK$ mà $MC=MA\Rightarrow MA=MK$.

Do đó, $\Delta MAK$ cân tại $M$.

Vì $MN$ là phân giác góc $\widehat{AMK}$ nên $MN\bot AK\Rightarrow MN\bot DN$.

Do đó, $MD$ là đường kính của đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$.

Suy ra, $\text{s}\overset\frown{MA}+\text{s}\overset\frown{AD}=180{}^\circ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\text{s}\overset\frown{AC}+\text{s}\overset\frown{AD}=180{}^\circ $.

10.a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$4{{a}^{2}}+4\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.4}=8a$; $6{{b}^{2}}+\frac{8}{3}\ge 2\sqrt{6{{b}^{2}}.\frac{8}{3}}=8b$; $3{{c}^{2}}+\frac{16}{3}\ge 2\sqrt{3{{c}^{2}}.\frac{16}{3}}=8c$.

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

$4{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+4+\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\ge 8\left( a+b+c \right)=24\Rightarrow 4{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}\ge 12$.

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 3\\
4{a^2} = 4\\
6{b^2} = \frac{8}{3}\\
3{c^2} = \frac{{16}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \frac{2}{3}\\
c = \frac{4}{3}
\end{array} \right.$

10.b

Phương trình ${{x}^{2}}-2ax-3b=0\left( 1 \right)$ có ${{\Delta }_{1}}^{\prime }={{a}^{2}}+3b$.

Phương trình ${{x}^{2}}-2bx-3a=0\left( 2 \right)$ có ${{\Delta }_{2}}^{\prime }={{b}^{2}}+3a$.

Vì hai phương trình có nghiệm nguyên nên ${{\Delta }_{1}}^{\prime }$, ${{\Delta }_{2}}^{\prime }$ đều là số chình phương.

Giả sử $a\ge b>0$ khi đó ${{a}^{2}}<{{a}^{2}}+3b<{{\left( a+2 \right)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+3b={{\left( a+1 \right)}^{2}}\Rightarrow 3b=2a+1$.

Do đó $b$ là số lẻ. Đặt $b=2n+1$$\Rightarrow {{\Delta }_{2}}^{\prime }=4{{n}^{2}}+13n+4$.

+) Nếu $n\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$ thì ${{\Delta }_{2}}^{\prime }$ không là số chính phương.

+) Nếu $n=0$$\Rightarrow {{\Delta }_{2}}^{\prime }=4\Rightarrow a=b=1$ (thỏa mãn).

+) Nếu $n=5$ thì ${{\Delta }_{2}}^{\prime }=169\Rightarrow a=16,b=11$ (thỏa mãn).

+ Nếu $n>5$ thì ${{\left( 2n+3 \right)}^{2}}<4{{n}^{2}}+13n+4<{{\left( 2n+4 \right)}^{2}}$$\Rightarrow {{\Delta }_{2}}^{\prime }$ không là số chính phương.

Vậy các bộ số $\left( a;b \right)$ thỏa mãn là: $\left( 1;1 \right)$, $\left( 16;11 \right)$, $\left( 11;16 \right)$.