Lời giải đề 7- trang 2

9.a

Vẽ hình đúng câu a)

Ta có $widehat{ACN}=frac{1}{2}text{s}oversetfrown{AN}=frac{1}{2}text{s}oversetfrown{DN}=widehat{DMN},left( * right)$.

Xét tứ giác $MCKH$ có $widehat{KCH}=widehat{KMH}$ (do $,left( * right)$). Do đó, tứ giác $MCKH$ nội tiếp.

9.b

Do tứ giác $MCKH$ nội tiếp nên $widehat{HKM}=widehat{HCM}=frac{1}{2}text{s}oversetfrown{AM}=widehat{ADM}$.

Suy ra, $HKtext{//}AD$ (hai góc đồng vị).

9.c

Ta có $widehat{CKM}=frac{1}{2}left( text{s}oversetfrown{MC}+text{s}oversetfrown{DN} right)$; $widehat{MCK}=frac{1}{2}left( text{s}oversetfrown{MA}+text{s}oversetfrown{AN} right)=frac{1}{2}left( text{s}oversetfrown{MC}+text{s}oversetfrown{DN} right)$.

$Rightarrow widehat{MKC}=widehat{MCK}$$Rightarrow Delta MCK$ cân tại $M$$Rightarrow MC=MK$ mà $MC=MARightarrow MA=MK$.

Do đó, $Delta MAK$ cân tại $M$.

Vì $MN$ là phân giác góc $widehat{AMK}$ nên $MNbot AKRightarrow MNbot DN$.

Do đó, $MD$ là đường kính của đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$.

Suy ra, $text{s}oversetfrown{MA}+text{s}oversetfrown{AD}=180{}^circ Leftrightarrow frac{1}{2}text{s}oversetfrown{AC}+text{s}oversetfrown{AD}=180{}^circ $.

10.a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$4{{a}^{2}}+4ge 2sqrt{4{{a}^{2}}.4}=8a$; $6{{b}^{2}}+frac{8}{3}ge 2sqrt{6{{b}^{2}}.frac{8}{3}}=8b$; $3{{c}^{2}}+frac{16}{3}ge 2sqrt{3{{c}^{2}}.frac{16}{3}}=8c$.

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

$4{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+4+frac{8}{3}+frac{16}{3}ge 8left( a+b+c right)=24Rightarrow 4{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}ge 12$.

Dấu “=” xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a + b + c = 3\
4{a^2} = 4\
6{b^2} = frac{8}{3}\
3{c^2} = frac{{16}}{3}
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = frac{2}{3}\
c = frac{4}{3}
end{array} right.$

10.b

Phương trình ${{x}^{2}}-2ax-3b=0left( 1 right)$ có ${{Delta }_{1}}^{prime }={{a}^{2}}+3b$.

Phương trình ${{x}^{2}}-2bx-3a=0left( 2 right)$ có ${{Delta }_{2}}^{prime }={{b}^{2}}+3a$.

Vì hai phương trình có nghiệm nguyên nên ${{Delta }_{1}}^{prime }$, ${{Delta }_{2}}^{prime }$ đều là số chình phương.

Giả sử $age b>0$ khi đó ${{a}^{2}}<{{a}^{2}}+3b<{{left( a+2 right)}^{2}}Rightarrow {{a}^{2}}+3b={{left( a+1 right)}^{2}}Rightarrow 3b=2a+1$.

Do đó $b$ là số lẻ. Đặt $b=2n+1$$Rightarrow {{Delta }_{2}}^{prime }=4{{n}^{2}}+13n+4$.

+) Nếu $nin left{ 1;2;3;4 right}$ thì ${{Delta }_{2}}^{prime }$ không là số chính phương.

+) Nếu $n=0$$Rightarrow {{Delta }_{2}}^{prime }=4Rightarrow a=b=1$ (thỏa mãn).

+) Nếu $n=5$ thì ${{Delta }_{2}}^{prime }=169Rightarrow a=16,b=11$ (thỏa mãn).

+ Nếu $n>5$ thì ${{left( 2n+3 right)}^{2}}<4{{n}^{2}}+13n+4<{{left( 2n+4 right)}^{2}}$$Rightarrow {{Delta }_{2}}^{prime }$ không là số chính phương.

Vậy các bộ số $left( a;b right)$ thỏa mãn là: $left( 1;1 right)$, $left( 16;11 right)$, $left( 11;16 right)$.