ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
B |
C |
C |
A |
C |
D |
D |
B |
A |
C |
D |
D |
A |
A |
C |
B |
A |
A |
A |
B |
D |
D |
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
B |
A |
A |
C |
C |
D |
B |
B |
A |
A |
C |
A |
A |
B |
A |
D |
D |
C |
B |
B |
B |
B |
C |
D |
B |
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Chọn B.
Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$$=3+7\left( n-1 \right)$$=7n-4$
${{u}_{n}}>2018$$\Leftrightarrow 7n-4>2018$$\Leftrightarrow n>\frac{2022}{7}$
Vậy $n=289$.
Câu 2: Chọn C.
TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
$2\cos x-1=0$$\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 3: Chọn C.
$\left( MNP \right):\frac{x}{1}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{1}=1$$\Leftrightarrow \left( MNP \right):2x-y+2z+2=0$
$h=\frac{\left| 2.0-0+2.0+2 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{2}{3}$.
Câu 4: Chọn A.
TXĐ: $D=\left[ -1;+\infty \right)$
$\sqrt{{{x}^{2}}-mx-3m}=0$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-3m=0\,\,\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=m\left( x+3 \right)$
$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{x+3}=m$
YBCT$\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng $-1$
Đặt $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{x+3},\,\,\forall x\in \left[ -1;+\infty \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+6x}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}},\,\,\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$
${f}'\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x=0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = - 6}
\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow x=0$
Từ bảng biến thiên, ta có: YCBT$\Leftrightarrow 0<m\le \frac{1}{2}$.
Câu 5: Chọn C.
Gọi chu vi đáy là $P$
Ta có: $P=2\pi R$$\Leftrightarrow 4\pi a=2\pi R$$\Leftrightarrow R=2a$
$V=\pi {{R}^{2}}h$$=\pi {{\left( 2a \right)}^{2}}.a$$=4\pi {{a}^{3}}$.
Câu 6: Chọn D.
Goi $O=AC\cap BD$.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{{}^\circ }}$$\Leftrightarrow \widehat{SOA}={{45}^{{}^\circ }}$ .
$\Delta BAD$ đều $\Rightarrow AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow SA=AO.\tan {{45}^{{}^\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng: $V=\frac{1}{3}SA.2{{S}_{\Delta ABD}}$$=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$.
Thể tích khối chóp $N.MCD$ bằng thể tích khối chóp $N.ABCD$ bằng: ${V}'=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}$.
Thể tích khối chóp $KMIB$ bằng: ${{V}'}'=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}SA.S{{\Delta }_{MBI}}=\frac{1}{9}.\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
Khi đó: ${{V}_{2}}={V}'-{{V}'}'=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{16}-\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}=\frac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{96}$; ${{V}_{1}}=V-{{V}_{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}-\frac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{96}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{2}}{96}$.
Vậy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{5}$.
Câu 7: Chọn D.
Đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên chọn B hoặc D.
Đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm có hoành độ $-1$ và $1$ nên chọn D.
Câu 8: Chọn B.
Ta có $y={{x}^{3}}+x-2$$\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}+1>0\,\forall x$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Câu 9: Chọn A.
Giả sử sau $n$ tháng người đó thu được số tiền hơn $50$ triệu đồng.
Ta có: ${{20.10}^{6}}{{\left( 1+0,008 \right)}^{n}}>{{50.10}^{6}}$ $\Leftrightarrow n>114,994$.
Vậy sau ít nhất $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \sin x.\tan x.f\left( x \right) \right]\text{d}x}=2$ tháng người đó lãnh được số tiền nhiều hơn $50$ triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và lãi.
Câu 10: Chọn C.
Ta có ${y}'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3 - 2m
\end{array} \right.$.
TH1: Với $-1<3-2m\Leftrightarrow m<2$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$$\Leftrightarrow 1\ge 3-2m\Leftrightarrow m\ge 1$.
Hay $1\le m<2$ thì thỏa đề.
TH2: Với $-1>3-2m\Leftrightarrow m>2$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ nên đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ với mọi $m$.
TH3: Với $-1=3-2m\Leftrightarrow m=2$.
Ta có ${y}'\ge 0$.
Vậy không có giá trị nguyên âm thỏa đề.
Câu 11: Chọn D.
Ta có: Diện tích xung quanh ${{S}_{xp}}=2\pi {{a}^{2}}$$\Rightarrow $ $\pi rl=2\pi {{a}^{2}}$$\Rightarrow l=2a$$\Rightarrow h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=a\sqrt{3}$ .
Đáy $ABCD$ nội tiếp đáy của khối nón $\left( N \right)$ có bán kính đáy bằng $a$$\Rightarrow $ $AB=a\sqrt{2}$ .
Vậy: $V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}h=\frac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$ .
Câu 12: Chọn D.
Ta có $AB\text{//}\left( SCD \right)$ nên $h=d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH$
Vì $CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow \left( SCD \right)\bot \left( SAD \right)$ theo giao tuyến $SD$, dựng $AH\bot SD\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right)$.
Theo đề góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $ nên $\widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Ta có: $\tan 60{}^\circ =\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$
Và $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{42}}{7}$.
Câu 13: Chọn A.
Giá trị cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)$ là $4$.
Câu 14: Chọn A.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;\,1;\,3 \right)$ và bán kính $R=5$ $\Rightarrow $ ${{V}_{1}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{500}{3}\pi $ .
Ta có: $d=d\left( I;\left( P \right) \right)=3$ $\Rightarrow $ Bán kính của $\left( C \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=4$ .
Đài đường cao khối nón $\left( N \right)$là $h=R+d=8$
Suy ra: ${{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{128}{3}\pi $ .
Vậy: $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{125}{32}$.
Câu 15: Chọn C.
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\sin x$ là ${{x}^{3}}-\cos x+C$.
Câu 16: Chọn B.
Ta có số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$.
Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình $f\left( x \right)=m$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-2<m<4$.
Câu 17: Chọn A.
Gọi $x$ là cạnh của hình lập phương.
Đường chéo hình lập phương $a\sqrt{3}$$\Leftrightarrow x\sqrt{3}=a\sqrt{3}$$\Leftrightarrow x=a$.
Suy ra ${{V}_{{A}'.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.A{A}'$$=\frac{1}{3}{{a}^{3}}$.
Câu 18: Chọn A.
TXĐ: $D=\left( -2;2 \right)$.
Ta có: $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=+\infty $; $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=-\infty $.
Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x=\pm 2$.
Do hàm số có tập xác định $D=\left( -2;2 \right)$ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là: $2$.
Câu 19: Chọn A.
Định nghĩa và tính chất của tích phân.
Câu 20: Chọn B.
Do $\left( Q \right)\ \text{//}\ \left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $2x-y+z+C=0$, $\left( C\ne -3 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( -1;2;1 \right)$ nên: $2.\left( -1 \right)-2+1+C=0$$\Leftrightarrow C=3$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x-y+z+3=0$.
Từ đây, suy ra điểm không nằm trên mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $N\left( 2;1;-1 \right)$ vì $2.2-1-1+3=5\ne 0$.
Câu 21: Chọn D.
Ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a$.
$\Rightarrow MN=a$, $MQ=2a$.
Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $MN$ và $BC$.
$AF=a$, $EF=\frac{a}{2}\Rightarrow IF=\frac{3}{2}a$.
Vậy, thể tích cần tìm $V=\frac{1}{3}\pi .AF.F{{B}^{2}}+\pi .IF.I{{Q}^{2}}=\frac{1}{3}\pi .a.{{a}^{2}}+\pi .\frac{3}{2}a.{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}=\frac{17}{24}\pi {{a}^{3}}$ .
Câu 22: Chọn D.
Điều kiện : $n\ge 2$, $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
$3C_{n+1}^{3}-3A_{n}^{2}=52\left( n-1 \right)$$\Leftrightarrow 3.\frac{\left( n+1 \right)!}{3!\left( n-2 \right)!}-3\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}=52\left( n-1 \right)$$\Leftrightarrow \frac{\left( n-1 \right)n\left( n+1 \right)}{2}-3n\left( n-1 \right)=52\left( n-1 \right)$$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-6n=104$$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-5n-104=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 13\\
n = - 8
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow n=13$.
${{\left( {{x}^{3}}+2{{y}^{2}} \right)}^{13}}=$$\sum\limits_{0}^{13}{C_{13}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{13-k}}{{\left( 2{{y}^{2}} \right)}^{k}}}$$=\sum\limits_{0}^{13}{C_{13}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{39-3k}}{{y}^{2k}}}$.
Ta có : $39-3k+2k=34$$\Leftrightarrow k=5$. Vậy hệ số $C_{13}^{5}{{2}^{5}}=$$41184$.
Câu 23: Chọn A.
Với $x\in \left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)$ thì $\cos x>0$, chia hai vế cho $\cos x$, ta được:
$3\sqrt{\tan x+1}\left( \sin x+2\cos x \right)=m\left( \sin x+3\cos x \right)$$\Leftrightarrow 3\sqrt{\tan x+1}\left( \tan x+2 \right)=m\left( \tan x+3 \right)$$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{\tan x+1}\left( \tan x+2 \right)}{\tan x+3}=m$.$\left( 1 \right)$
Đặt $t=\sqrt{\tan x+1}$, $x\in \left( 0;\,\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;\,+\infty \right)$. Khi đó: $\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow g\left( t \right)=\frac{3t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}{{{t}^{2}}+2}=m$.$\left( 2 \right)$
Xét hàm $g\left( t \right)=\frac{3t\left( {{t}^{2}}+1 \right)}{{{t}^{2}}+2}$ trên $\left( 0;\,+\infty \right)$. ${g}'\left( t \right)=\frac{3{{t}^{4}}+15{{t}^{2}}+6}{{{\left( {{t}^{2}}+2 \right)}^{2}}}>0,\,\forall t>0$.
Suy ra để thỏa yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>g\left( 0 \right)=0$. Mà $\left\{ \begin{array}{l}
m \in Z\\
m \in \left[ { - 2018;2018} \right]
\end{array} \right.$. Suy ra $m=1;2;3;...;2018$.
Câu 24: Chọn A.
Chọn ra $2$ học sinh từ một tổ có $10$ học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập $2$ của 10 phần tử. Số cách chọn là $A_{10}^{2}$ cách.
Câu 25: Chọn A.
${{2}^{x}}{{.15}^{x+1}}={{3}^{x+3}}$$\Leftrightarrow $${{2}^{x}}{{.5}^{x+1}}={{3}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ ${{10}^{x}}=\frac{9}{5}$$\Leftrightarrow $$x=\log \frac{9}{5}=\log 9-\log 5$ $\Leftrightarrow $$x=2\log 3-\log 5$.
Ta có $a=3,b=5$. Vậy $S={{2017.3}^{3}}-{{2018.5}^{2}}$ = $4009$.
Câu 26: Chọn B.
Dựa vào đồ thị ta thấy khi $x=0$ thì $y=0$ và khi $x=2$ thì $y=1$. Nên ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Câu 27: Chọn A.
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$.
${f}'\left( x \right)=\frac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0$,$\forall x\in \left[ 0;3 \right]$ nên $m=f\left( 0 \right)=-1$, $M=f\left( 3 \right)=\frac{5}{4}$$\Rightarrow $ $M-m=-\frac{9}{4}$.
Câu 28: Chọn A.
Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.
Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0\\
{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0\\
{0^2} + {0^2} + {6^2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0\\
{2^2} + {4^2} + {6^2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 4a + d = - 4\\
- 8b + d = - 16\\
- 12c + d = - 36\\
- 4a - 8b - 12c + d = - 56
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2\\
c = 3\\
d = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0 \Rightarrow I\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right)
\end{array}\] và $R=\sqrt{14}$ .
$\Rightarrow $${R}'=2\sqrt{14}$ .
Vậy: mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm $I\left( 1;\text{ }2;\text{ }3 \right)$và ${R}'=2\sqrt{14}$:${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=56$.
Câu 29: Chọn C.
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
2x + 5 > 0\\
x - 1 > 0
\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x>1$.
${{\log }_{2}}\left( 2x+5 \right)>{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)$$\Leftrightarrow $ $2x+5>x-1$ $\Leftrightarrow $ $x>-6$.
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình: $S=\left( 1;+\infty \right)$. Vậy trong tập $S$có $8$ phần tử là số nguyên dương bé hơn $10$.