Đáp án
|
1-C |
2-C |
3-C |
4-C |
5-B |
6-A |
7-C |
8-B |
9-A |
10-C |
|
11-B |
12-D |
13-D |
14-A |
15-D |
16-A |
17-B |
18-B |
19-B |
20-B |
|
21-C |
22-A |
23-C |
24-D |
25-B |
26-A |
27-B |
28-A |
29-C |
30-B |
|
31-D |
32-A |
33-A |
34-B |
35-D |
36-D |
37-C |
38-D |
39-D |
40-A |
|
41- |
42-C |
43-C |
44-C |
45-C |
46-B |
47-D |
48-D |
49-A |
50-D |
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng tổ hợp chập 3 của 20 để lấy ra 3 phần tử trong tập 20 phần tử.
Cách giải: Số tập con gồm 3 phần tử của S là $C_{20}^{3}$
Câu 2: Đáp án C
Phương pháp:
* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$
Nếu $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim \,}}\,f\left( x \right)=+\infty $hoặc $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim \,}}\,f\left( x \right)=-\infty $hoặc $\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim \,}}\,f\left( x \right)=+\infty $hoặc $\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim \,}}\,f\left( x \right)=-\infty $thì $x=a$ là TCĐ của đồ thị hàm số.
Cách giải:
$+)\,y=\sqrt{{{x}^{2}}-4}$. TXĐ: $D=\left[ -2;2 \right].$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
$+)\,y=\frac{2x}{{{x}^{2}}+2}.$TXĐ: $D=R.$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
$+)\,y=\frac{2x+1}{x-1}.$TXĐ: $D=R\backslash \left\{ 1 \right\}$
$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-1}=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-1}=-\infty \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x=1$
$+)\,y=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x+1}.$ TXĐ: $D=R\backslash \left\{ -1 \right\}$
$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x+1}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-4\Rightarrow $Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 3: Đáp án C
Phương pháp: Đưa về bất phương trình mũ cơ bản:
${{a}^{f\left( x \right)}}>{{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)>g\left( x \right)$ nếu $a>1$
${{a}^{f\left( x \right)}}>{{a}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)<g\left( x \right)$nếu $0<a<1$
Cách giải: ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>{{2}^{2x+1}}\Leftrightarrow {{2}^{-x}}>{{2}^{2x-1}}\Leftrightarrow -x>2x-1\Leftrightarrow x<\frac{1}{3}$
Câu 4: Đáp án C
Phương pháp: Hàm số$y=f\left( x \right)$ đồng biến trên$\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)>0\forall x\in \left( a;b \right)$
Cách giải: Hàm số $y=f\left( x \right)$đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right),\left( 0;1 \right)$
Câu 5: Đáp án B
Phương pháp: Số phức liên hợp $\overline{z}$của số phức $z=a+bi,a,b\in R$là $\overline{z}=a-bi$
Cách giải: Số phức liên hợp $\overline{z}$của số phức $z=2-3i$là $\overline{z}=2+3i$
Câu 6: Đáp án A
Phương pháp:
Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là $V=Bh$
Cách giải:
Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là $V=Bh$
Câu 7: Đáp án C
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho x và sử dụng giới hạn $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{n}}}=0\left( n>0 \right)$
Cách giải: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2$
Câu 8: Đáp án B
Phương pháp:
Mặt phẳng $\left( P \right):A\,x+By+C\text{z}+D=0\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0 \right)$có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$
Cách giải:
Mặt phẳng $\left( P \right):2\,x-y+3\text{z}-2=0$có một véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 2;-1;3 \right)$
Câu 9: Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng các công thức: $\log \left( ab \right)=\log a+\log b;\log \left( \frac{a}{b} \right)=\log a-\log b$ (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Cách giải: Với các số thực dương a, b bất kì , mệnh đề đúng là: $\ln \left( ab \right)=\ln a+\ln b$
Câu 10: Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng: $\int{\frac{1}{a\,x+b}dx=\frac{1}{a}\ln \left| a\,x+b \right|+C}$
Cách giải: $\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{x+1}}=\frac{1}{1}\operatorname{l}\left. n\left| x+1 \right| \right|{}_{0}^{1}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$
Câu 11: Đáp án B
Phương pháp:
$\begin{array}{l}
+ \int {\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right)dx} = \int f \left( x \right)dx \pm \int {g\left( x \right)} \\
+ \,\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C}
\end{array}$
Cách giải:$\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( {{x}^{3}}+x+1 \right)dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C$
Câu 12: Đáp án D
Phương pháp: Diện tích xung quanh của hình nón: ${{S}_{xq}}=\pi Rl$
Trong đó: R là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh.
Cách giải: ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .a.2a=2\pi {{a}^{2}}$
Câu 13: Đáp án D
Phương pháp: Dựa vào $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y$ để loại trừ đáp án sai.
Cách giải:
- Đồ thị hàm số bên không phải đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương => Loại đáp án A và B.
Còn lại đáp án C và D, là các hàm số bậc ba, dạng $y=a\,{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,a\ne 0$
- Khi $x\to +\infty ,y\to +\infty $ vậy $a>0$
Ta chọn đáp án D.
Câu 14: Đáp án A
Phương pháp:
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai
đường thẳng $x=a,x=b\left( a<b \right)$ được tính theo công thức $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
Cách giải:
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\left( a<b \right)$được tính theo công thức$S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
Câu 15: Đáp án D
Phương pháp:
Giải phương trình $y'=0$, sử dụng điều kiện cần để một điểm là cực trị của hàm số hoặc lập BBT.
Cách giải: Hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{a\,x+b}{cx+d}\left( ad-bc\ne 0 \right)$ không có điểm cực trị.
Câu 16: Đáp án A
Phương pháp:
Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$trên mặt phẳng (Oxy) là điểm $M'\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};0 \right)$
Cách giải:
Hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( 1;2;3 \right)$trên mặt phẳng (Oxy) là điểm $N\left( 1;2;0 \right)$
Câu 17: Đáp án B
Phương pháp: Xét $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\left( \alpha \right):A\,x+By+Cz+D=0.$
Khoảng cách từ M đến$\left( \alpha \right)$là: $d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| A\,{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$
Cách giải: Khoảng cách từ A đến $\left( \alpha \right)$là: $d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| -1-2.3-2.\left( -2 \right)+5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{2}{3}$
Câu 18: Đáp án B
Phương pháp: Xác suất :$P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}$
Cách giải:
Số phần tử của không gian mẫu : $n\left( \Omega \right)=C_{15+10}^{4}=C_{25}^{4}$
Gọi A là biến cố : “4 học sinh được gọi đó cả nam lẫn nữ”
Khi đó : $n\left( A \right)=C_{15}^{1}C_{10}^{3}+C_{15}^{2}C_{10}^{2}+C_{15}^{3}C_{10}^{1}$
Xác suất cần tìm: $P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{C_{15}^{1}C_{10}^{3}+C_{15}^{2}C_{10}^{2}+C_{15}^{3}C_{10}^{1}}{C_{25}^{4}}=\frac{443}{506}$
Câu 19: Đáp án B
Phương pháp: Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ a;b \right]$
Bước 1: Tính $y',$ giải phương trình $y'=0$và suy ra các nghiệm ${{x}_{i}}\in \left[ a;b \right]$
Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right)$
Bước 3: So sánh và rút ra kết luận: $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\};\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,\,f\left( x \right)=m\text{ax}\left\{ f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x}_{i}} \right) \right\}$
Cách giải: TXĐ: $D=R$
$\begin{array}{l}
y = {x^4} - 2{x^2} + 3 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.\\
f\left( 0 \right) = 3;f\left( {\sqrt 3 } \right) = 6;f\left( 1 \right) = 2\\
\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\sqrt 3 } \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2
\end{array}$
Câu 20: Đáp án B
Phương pháp:
Hình chiếu của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ trên trục Ox là điểm ${{M}_{1}}\left( {{x}_{0}};0;0 \right)$
Hình chiếu của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$trên trục Oy là điểm ${{M}_{2}}\left( 0;{{y}_{0}};0 \right)$
Hình chiếu của điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$trên trục Oz là điểm ${{M}_{3}}\left( 0;0;{{z}_{0}} \right)$
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng đi qua 3 điểm $\text{A}\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right),\,\,\left( a,b,c\ne 0 \right)$là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Cách giải: Hình chiếu của điểm $A\left( 2;-1;1 \right)$ trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là: $\left( 2;0;0 \right),\left( 0;-1;0 \right),\left( 0;0;1 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{1}=1$
Câu 21: Đáp án C
Phương pháp: Công thức lãi kép, không kỳ hạn: ${A_n} = M{\left( {1 + r\% } \right)^n}$
Với: ${{A}_{n}}$là số tiền nhận được sau tháng thứ n,
M là số tiền gửi ban đầu,
n là thời gian gửi tiền (tháng),
r là lãi suất định kì (%).
Cách giải: Sau đúng 10 tháng, người đó được lĩnh số tiền:
${A_{10}} = 200.{\left( {1 + 0,45\% } \right)^{10}} \approx 209,184$(triệu đồng)
Câu 22: Đáp án A
Phương pháp:
Đưa về phương trình bậc hai ẩn $\log x,$ sử dụng công thức ${{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\frac{m}{n}{{\log }_{a}}b$(giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Cách giải: ĐK: $x>0$
$\begin{array}{l}
{\left( {\log {x^3}} \right)^2} - 20\log \sqrt x + 1 = 0,\left( {x > 0} \right)\\
\Leftrightarrow {\left( {3\log x} \right)^2} - 10\log x + 1 = 0 \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\log x = 1\\
\log x = \frac{1}{9}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = \sqrt[9]{{10}}
\end{array} \right.
\end{array}$
Tích giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là: $10\sqrt[9]{10}$
Câu 23: Đáp án C
Phương pháp: Giải phương trình phức bậc hai, suy ra các nghiệm và tính tổng bình phương môđun của các nghiệm đó.
Sử dụng công thức: $z=a+bi\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Cách giải:
$\begin{array}{l}
{z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{z_1} = - 1 + 3i\\
{z_2} = - 1 - 3i
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ;\left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\
\Rightarrow T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10 + 10 = 20
\end{array}$
Câu 24: Đáp án D
Phương pháp:
Đánh giá số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=m+1$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và đường thẳng $y=m+1$
Cách giải:
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=m+1$bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$
và đường thẳng $y=m+1$
Để $f\left( x \right)=m+1$có 3 nghiệm thực phân biệt thì $-2<m+1<4\Leftrightarrow -3<m<3$
Câu 25: Đáp án B
Phương pháp: $\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} \subset \left( \alpha \right)\\
{d_2} \subset \left( \beta \right)\\
\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)
\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = d\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right)$
Cách giải:
$ABC.A'B'C'$ là lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh đều bằng a
$\Rightarrow \left( ABC \right)//\left( A'B'C' \right)\Rightarrow d\left( AB;A'C' \right)=d\left( \left( ABC \right);\left( A'B'C' \right) \right)=a$
Câu 26: Đáp án A
Phương pháp: Công thức từng phần: $\int{udv}=uv-\int{vdu}$
Cách giải:
$\begin{array}{l}
\int\limits_1^e {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = \int\limits_1^e {f\left( x \right)d\ln x} = \left. {f\left( x \right)\ln } \right|{}_1^e - \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = 1} \\
\Rightarrow f\left( e \right) - \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = 1} \\
\Leftrightarrow \int\limits_1^e {\ln xf'\left( x \right)dx = f\left( e \right) - 1 = 2 - 1 = 1}
\end{array}$
Câu 27: Đáp án B
Phương pháp: Thể tích vật tròn xoay khi quay phần giới hạn bởi $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quanh trục Ox
$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $4y = {x^2}$và 
là: $\frac{{{x^2}}}{4} = x \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 4
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {\left( {\frac{{{x^2}}}{4}} \right) - {x^2}} \right|dx = \frac{\pi }{{16}}\int\limits_0^4 {\left| {{x^4} - 16{x^2}} \right|dx = - \frac{\pi }{{16}}\int\limits_0^4 {\left( {{x^4} - 16{x^2}} \right)dx = \left. { - \frac{\pi }{{16}}\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{16}}{3}{x^3}} \right)} \right|} } } _0^4\\
= - \frac{\pi }{{16}}\left( {\frac{{{4^5}}}{5} - \frac{{16}}{3}{{.4}^3}} \right) = \frac{{128}}{{15}}\pi
\end{array}$
Câu 28: Đáp án A
Phương pháp: Để hàm số nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)\Leftrightarrow y'\le 0\,\forall x\in \left( 0;1 \right)$và $y'=0$ tại hữu hạn điểm.
Cách giải: TXĐ: $D=R$
$\begin{array}{l}
y = {x^3} - 3m{x^2} - 9{m^2}x \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx - 9{m^2}\\
y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx - 9{m^2} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 2mx - 3{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {x + m} \right)\left( {x - 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = - m\\
{x_2} = 3m
\end{array} \right.
\end{array}$ $y'<0\,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left( 0;1 \right)$ nằm trong khoảng 2 nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$khi và chỉ khi:
TH1: $ - m \le 0 < 1 \le 3m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 0\\
m \ge \frac{1}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{3}$
TH2: $3m \le 0 < 1 \le - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 0\\
m \le - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1$
Vậy $m\ge \frac{1}{3}$hoặc $m\le -1$
Câu 29: Đáp án C
Phương pháp: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
OA \bot OB\\
OA \bot OC
\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot OM\left( 1 \right)$
Tam giác OBC: $OB=OC\Rightarrow \Delta OBC$cân tại O, mà M là trung điểm BC $\Rightarrow OM\bot BC\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1), (2), suy ra: OM là đoạn vuông góc chung của OA và BC $\Rightarrow d\left( OA;BC \right)=OM$
Tam giác OBC vuông tại O, OM là trung tuyến $\Rightarrow OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}a}{2}\Rightarrow d\left( OA;BC \right)=\frac{\sqrt{2}a}{2}$
