Bài giải
Bài 1: (2,0điểm)
1. a) Rút gọn T:
Với $a\ne b,\,a>0,\,b>0$, ta có: $T=\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\dfrac{\sqrt{{{a}^{3}}}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}-\sqrt{{{b}^{3}}}-\sqrt{{{a}^{3}}}+\sqrt{{{b}^{3}}}}{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\sqrt{ab}\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$
Vậy : $T=\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$, với $a\ne b,\,a>0,\,b>0$.
b) Chứng tỏ T > 1
Ta có: $T=\dfrac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$, với $a\ne b,\,a>0,\,b>0$. (kết quả câu 1.a)
$\Leftrightarrow T=\dfrac{{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}+\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\dfrac{{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}}{\sqrt{ab}}+1>1$(vì $\sqrt{ab}>0,\,\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne 0$ với $a\ne b,\,a>0,\,b>0$)
Vậy T > 1
2. Ta có: ${{a}^{n}}-{{b}^{n}}=(a-b)({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+{{a}^{n-3}}{{b}^{2}}+...+a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}})$$\Rightarrow {{a}^{n}}-{{b}^{n}}=m(a-b)\,\,\,(a,\,\,b,\,\,n,\,m\in \mathbb{N})$ (*)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên n = 2k ($k\in \mathbb{N}$) $\Rightarrow $ A =${{20}^{n}}-{{3}^{n}}+{{16}^{n}}-1={{400}^{k}}-{{9}^{k}}+{{256}^{k}}-1$
Áp dụng (*), có: $A=({{400}^{k}}-{{1}^{k}})+({{256}^{k}}-{{9}^{k}})=399x+247y=19\cdot 21x+19.13y\,\,(x,\,\,y\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow A\vdots 19$ với mọi số tự nhiên n chẵn (1)
và có: $A=({{400}^{k}}-{{9}^{k}})+({{256}^{k}}-{{1}^{k}})=391p+255q\,\,=17\cdot 23p+17\cdot 15q\,\,(p,\,q\in \mathbb{N})$
$\Rightarrow A\vdots 17$ với mọi số tự nhiên n chẵn (2)
mà 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra:$A\vdots 17\cdot 19$ với mọi số tự nhiên n chẵn
Vậy ${{20}^{n}}-{{3}^{n}}+{{16}^{n}}-1\vdots 323$ với mọi số tự nhiên n chẵn
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình: $3x+2\le \sqrt{7x+8}$ (1)
$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
9{x^2} + 12x + 4 \le 7x + 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
9{x^2} + 5x - 4 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
(x + 1)(9x - 4) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
(9x + 9)(9x - 4) \le 0
\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
9x - 4 \le 0 \le 9x + 9
\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 2}}{3}\\
- 1 \le x \le \frac{4}{9}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{3} \le x \le \frac{4}{9}$
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm $S=\left\{ x\in \mathbb{R}|\dfrac{-2}{3}\le x\le \dfrac{4}{9} \right\}$
2. Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}
x + y - \frac{4}{x} - \frac{4}{y} = 3\\
x + y + \frac{6}{{x + y}} = - 5
\end{array} \right.$ (2)
Đặt S = x + y $\ne $0; P = xy$\ne $0, ta có: $(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S - \frac{{4S}}{P} = 3\\
S + \frac{6}{S} = - 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{S^2} + 5S + 6 = 0\\
P = \frac{{4S}}{{S - 3}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
S = - 2;\,P = \frac{8}{5}\\
S = - 3;\,P = 2
\end{array} \right.$
Khi đó: S = 2; $P=\dfrac{8}{5}$ khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: ${{t}^{2}}+2t+\dfrac{8}{5}=0$ vô nghiệm ($\Delta '=\dfrac{-3}{5}\le 0$)
S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trinh: ${{t}^{2}}+3t+2=0\Leftrightarrow {{t}_{1}}=-1;\,\,{{t}_{2}}=-2$
Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1)
