Bài giải
Bài 1: (2,0điểm)
1. a) Rút gọn T:
Với $ane b,,a>0,,b>0$, ta có: $T=dfrac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{a}+sqrt{b}}:dfrac{sqrt{{{a}^{3}}}+asqrt{b}-bsqrt{a}-sqrt{{{b}^{3}}}-sqrt{{{a}^{3}}}+sqrt{{{b}^{3}}}}{left( sqrt{a}-sqrt{b} right)left( sqrt{a}+sqrt{b} right)}=dfrac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{a}+sqrt{b}}cdot dfrac{left( sqrt{a}-sqrt{b} right)left( sqrt{a}+sqrt{b} right)}{sqrt{ab}left( sqrt{a}-sqrt{b} right)}=dfrac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{ab}}$
Vậy : $T=dfrac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{ab}}$, với $ane b,,a>0,,b>0$.
b) Chứng tỏ T > 1
Ta có: $T=dfrac{a+b-sqrt{ab}}{sqrt{ab}}$, với $ane b,,a>0,,b>0$. (kết quả câu 1.a)
$Leftrightarrow T=dfrac{{{left( sqrt{a}-sqrt{b} right)}^{2}}+sqrt{ab}}{sqrt{ab}}=dfrac{{{left( sqrt{a}-sqrt{b} right)}^{2}}}{sqrt{ab}}+1>1$(vì $sqrt{ab}>0,,sqrt{a}-sqrt{b}ne 0$ với $ane b,,a>0,,b>0$)
Vậy T > 1
2. Ta có: ${{a}^{n}}-{{b}^{n}}=(a-b)({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+{{a}^{n-3}}{{b}^{2}}+…+a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}})$$Rightarrow {{a}^{n}}-{{b}^{n}}=m(a-b),,,(a,,,b,,,n,,min mathbb{N})$ (*)
Vì n là số tự nhiên chẵn nên n = 2k ($kin mathbb{N}$) $Rightarrow $ A =${{20}^{n}}-{{3}^{n}}+{{16}^{n}}-1={{400}^{k}}-{{9}^{k}}+{{256}^{k}}-1$
Áp dụng (*), có: $A=({{400}^{k}}-{{1}^{k}})+({{256}^{k}}-{{9}^{k}})=399x+247y=19cdot 21x+19.13y,,(x,,,yin mathbb{N})$
$Rightarrow Avdots 19$ với mọi số tự nhiên n chẵn (1)
và có: $A=({{400}^{k}}-{{9}^{k}})+({{256}^{k}}-{{1}^{k}})=391p+255q,,=17cdot 23p+17cdot 15q,,(p,,qin mathbb{N})$
$Rightarrow Avdots 17$ với mọi số tự nhiên n chẵn (2)
mà 17 và 19 là hai số nguyên tố cùng nhau nên từ (1) và (2) suy ra:$Avdots 17cdot 19$ với mọi số tự nhiên n chẵn
Vậy ${{20}^{n}}-{{3}^{n}}+{{16}^{n}}-1vdots 323$ với mọi số tự nhiên n chẵn
Bài 2: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình: $3x+2le sqrt{7x+8}$ (1)
$(1) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
9{x^2} + 12x + 4 le 7x + 8
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
9{x^2} + 5x – 4 le 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
(x + 1)(9x – 4) le 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
(9x + 9)(9x – 4) le 0
end{array} right.$
$left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
9x – 4 le 0 le 9x + 9
end{array} right.left{ begin{array}{l}
x ge frac{{ – 2}}{3}\
– 1 le x le frac{4}{9}
end{array} right. Leftrightarrow frac{{ – 2}}{3} le x le frac{4}{9}$
Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm $S=left{ xin mathbb{R}|dfrac{-2}{3}le xle dfrac{4}{9} right}$
2. Giải hệ phương trình:$left{ begin{array}{l}
x + y – frac{4}{x} – frac{4}{y} = 3\
x + y + frac{6}{{x + y}} = – 5
end{array} right.$ (2)
Đặt S = x + y $ne $0; P = xy$ne $0, ta có: $(2) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
S – frac{{4S}}{P} = 3\
S + frac{6}{S} = – 5
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{S^2} + 5S + 6 = 0\
P = frac{{4S}}{{S – 3}}
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
S = – 2;,P = frac{8}{5}\
S = – 3;,P = 2
end{array} right.$
Khi đó: S = 2; $P=dfrac{8}{5}$ khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: ${{t}^{2}}+2t+dfrac{8}{5}=0$ vô nghiệm ($Delta ‘=dfrac{-3}{5}le 0$)
S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trinh: ${{t}^{2}}+3t+2=0Leftrightarrow {{t}_{1}}=-1;,,{{t}_{2}}=-2$
Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1)
