Câu 31. Hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ trên $\left( -\infty ;0 \right)$ thỏa mãn $F\left( -2 \right)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $F\left( x \right)=\ln {{\left( \frac{-x}{2} \right)}^{{}}}\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$
B. $F\left( x \right)=\ln \left| x \right|+C{}_{{}}\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ với $C$ là một số thực bất kì.
C. $F\left( x \right)=\ln \left| x \right|+\ln 2\,\,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
D. $F\left( x \right)=\ln \left( -x \right)+C{}_{{}}\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Lời giải
Tác giả : Lê Đình Năng, FB: Lê Năng
Chọn A
Ta có $F\left( x \right)=\int{\frac{1}{x}\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C=\ln \left( -x \right)+C$ với $\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Lại có $F\left( -2 \right)=0\Leftrightarrow \ln 2+C=0\Leftrightarrow C=-\ln 2$. Do đó $F\left( x \right)=\ln \left( -x \right)-\ln 2=\ln \left( \frac{-x}{2} \right)$.
Vậy $F\left( x \right)=\ln {{\left( \frac{-x}{2} \right)}^{{}}}\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Lenguyet150682@gmail.com
Câu 32. Nếu ${{\log }_{3}}5=a$ thì ${{\log }_{45}}75$ bằng
A. $\frac{2+a}{1+2a}$. B. $\frac{1+a}{2+a}$.
C. $\frac{1+2a}{2+a}$. D. $\frac{1+2a}{1+a}$.
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Nguyệt ; Fb: Nguyet Le
Chọn C
Ta có ${{\log }_{45}}75=2.{{\log }_{45}}5+{{\log }_{45}}3$ .
Và ${{\log }_{45}}5=\frac{1}{{{\log }_{5}}45}=\frac{1}{2{{\log }_{5}}3+1}=\frac{1}{\frac{2}{a}+1}=\frac{a}{a+2};{{\log }_{45}}3=\frac{1}{{{\log }_{3}}45}=\frac{1}{2+{{\log }_{3}}5}=\frac{1}{a+2}$ .
Do đó ${{\log }_{45}}75=\frac{2a}{a+2}+\frac{1}{a+2}=\frac{1+2a}{2+a}$.
icloudkb@gmail.com
Câu 33. Nếu một hình nón có diện tích xung quanh gấp đôi diện tích của hình tròn đáy thì góc ở đỉnh của hình nón bằng
A. $15{}^\circ $. B. $60{}^\circ $.
C. $30{}^\circ $. D. $120{}^\circ $.
Lời giải
Tác giả: Thành Nguyễn; Fb: Thành Nguyễn
Chọn B
Ta có: ${{S}_{xq}}=2{{S}_{d}}\Leftrightarrow \pi rl=2\pi {{r}^{2}}\Leftrightarrow l=2r$.
Suy ra tam giác $SAB$ đều. Vậy góc ở đỉnh của hình nón là $\widehat{ASB}=60{}^\circ $.
hnibna@gmail.com
Câu 34. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$. Tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{MO}$ là
A. $\left( a\,;\,b\,;\,c \right)$. B. $\left( -a\,;\,b\,;\,c \right)$.
C. $\left( -a\,;\,-b\,;\,-c \right)$. D. $\left( -a\,;\,b\,;\,-c \right)$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Bình; Fb: Phạm An Bình
Chọn C
Ta có $\overrightarrow{MO}=\left( {{x}_{O}}-{{x}_{M}}\,;\,{{y}_{O}}-{{y}_{M}}\,;\,{{z}_{O}}-{{z}_{M}} \right)=\left( -a\,;\,-b\,;\,-c \right)$.
nguyenthilinh9387@gmail.com
Câu 35. Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Xác suất của biến cố “hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau” là:
A. $\frac{3}{5}$. B. $\frac{2}{5}$.
C. $\frac{1}{5}$. D. $\frac{4}{5}$
Lời giải
Tác giả Fb:linhnguyen
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right)=5!$
Gọi A:”Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau”
Thì $\overline{A}$:”Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau”
Xếp An và Bình ngồi cạnh nhau coi như 1 phần tử
- Xếp 1 phần tử (An+Bình) và 3 bạn còn lại theo các thứ tự khác nhau có: 4! Cách
- Xếp 2 học sinh An và Bình ngồi cạnh nhau có 2! cách
Suy ra $n\left( \overline{A} \right)\text{=4!}\text{.2!}\Rightarrow \text{P}\left( \overline{\text{A}} \right)\text{=}\frac{\text{4!}\text{.2!}}{\text{5!}}=\frac{2}{5}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{3}{5}$.
trungkienta1909@gmail.com
Câu 36. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB=c,AC=b$. Quay tam giác $ABC$ xung quanh đường thẳng chứa cạnh $AB$ ta được một hình nón có thể tích bằng
A. $\frac{1}{3}\pi b{{c}^{2}}$. B. $\frac{1}{3}b{{c}^{2}}$.
C. $\frac{1}{3}{{b}^{2}}c$. D. $\frac{1}{3}\pi {{b}^{2}}c$.
Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: Trung Kien Ta
Chọn D
$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{b}^{2}}c$.
quyetlv.toan@gmail.com
Câu 37. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ là
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. 3.
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Quyết ; Fb:Lê Văn Quyết
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1$.
Do đó $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=1$. Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ có 1 đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Ta có $2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = a{\mkern 1mu} \\
x = b
\end{array} \right.$, trong đó $2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = a{\mkern 1mu} \\
x = b
\end{array} \right.$
$\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=+\infty$, $\underset{x\to {{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=-\infty$ và $\underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=-\infty$, $\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f\left( x \right)-1}=+\infty$.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ có 2 đường tiệm cận ngang là đường thẳng $x=a$ và đường thẳng $x=b$.
Kết luận: Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left( x \right)-1}$ có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 38. Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{a}=\left( 1;2;-3 \right)$, $\overrightarrow{b}=\left( -2;-4;6 \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$. B. $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$.
C. $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}$. D. $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$.
Lời giải
Tác giả:Trần Đình Thái ; Fb:Đình Tháii
Chọn B
Ta có $-2=-2.1;-4=-2.2;6=-2.\left( -3 \right)$suy ra $\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a}$.
Vanduong247@gmail.com
Câu 39. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u}=\left( -\sqrt{3};\,0;\,1 \right)$ là
A. $120{}^\circ $. B. $30{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $. D. $150{}^\circ $.
Lời giải
Tác giả: Lê Văn Dương ; Fb: duong.van.581187
Chọn D
Ta có $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$
$\Rightarrow $$\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{i} \right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{i}}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$. Vậy $\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{i} \right)=150{}^\circ $.
Tvluatc3tt@gmail.com
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( a;0;0 \right)$; $D\left( 0;2a;0 \right)$, ${A}'\left( 0;0;2a \right)$ với $a\ne 0$. Độ dài đoạn thẳng $A{C}'$ là
A. $\left| a \right|$. B. $2\left| a \right|$.
C. $3\left| a \right|$. D. $\frac{3}{2}\left| a \right|$.
Lời giải
Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật
Chọn C
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( a;0;0 \right)$; $\overrightarrow{AD}=\left( 0;2a;0 \right)$; $\overrightarrow{A{A}'}=\left( 0;0;2a \right)$.
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{A{C}'}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{A{C}'}=\left( a;2a;2a \right)$.
Suy ra $AC=\left| \overrightarrow{AC} \right|$$=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=3\left| a \right|$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $A{C}'=3\left| a \right|$.
Nguyenvandiep1980@gmail.com
Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ với $ABC$ không là tam giác cân. Góc giữa các đường thẳng $SA,SB,SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
B. Trực tâm của tam giác $ABC$.
C. Trọng tâm của tam giác $ABC$.
D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:Nguyenvandiep1980@gmail.com
Chọn A
Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$, ta có
$\begin{align}
& \left( SA,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SAH} \\
& \left( SB,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SBH} \\
& \left( SC,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SCH} \\
\end{align}$
Từ giả thiết suy ra $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow HA=HB=HC$
Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Câu 42. Cho hình chóp $O.ABC$ có $OA\text{ }=\text{ }OB\text{ }=\text{ }OC\text{ }=\text{ }a$ ,$\widehat{AOB}=60{}^\circ $, $\widehat{BOC}=90{}^\circ $, $\widehat{AOC}=120{}^\circ $. Gọi $S$ là trung điểm cạnh $OB$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là
A. $\frac{a}{4}$ B. $\frac{a\sqrt{7}}{4}$
C. $\frac{a\sqrt{7}}{2}$ D. $\frac{a}{2}$
Lời giải
Chọn C
Xét $\Delta AOB$ đều nên cạnh $AB\text{ }=\text{ }a$.
Xét $\vartriangle BOC$ vuông tại O nên $BC=a\sqrt{2}$.
Xét $\vartriangle AOC$ có .$AC=\sqrt{A{{O}^{2}}+C{{O}^{2}}-2.AO.CO.cos{{120}^{0}}}$$=a\sqrt{3}$.
Xét $\vartriangle ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow $ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm $H$ của cạnh $AC$.
Lại có hình chóp $O.ABC$ có $OA=OB=OC=a$ nên $OH\bot (ABC)$.
Xét hình chóp $S.ABC$ có $OH$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy, trong tam giác $OHB$ kẻ trung trực của cạnh $SB$ cắt $OH$ tại $I$ thì $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=IS$ .
Xét $\vartriangle OHB$ có $\widehat{HOB}=60{}^\circ $,cạnh $OB=a\Rightarrow OE=\frac{3a}{4}$ .
$\Rightarrow IE=OE.\tan 60{}^\circ =\frac{3a\sqrt{3}}{4}$ .
Xét $\vartriangle IES$ vuông tại E : $IS=\sqrt{I{{E}^{2}}+E{{S}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{3a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$ .
Tác giả: Đỗ Ngọc Tân; FB: Tân Ngọc Đỗ
lethimai0108@gmail.com
Câu 43. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int{f\left( x \right)\text{d}}x={{\text{e}}^{-2018x}}+C$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $f\left( x \right)=2018{{\text{e}}^{-2018x}}$. B. $f\left( x \right)=\frac{{{\text{e}}^{-2018x}}}{2018}$.
C. $f\left( x \right)=\frac{{{\text{e}}^{-2018x}}}{-2018}$. D. $f\left( x \right)=-2018{{\text{e}}^{-2018x}}$.
Lời giải
Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai
Chọn D
Ta có $\int{f\left( x \right)\text{d}}x={{\text{e}}^{-2018x}}+C\Rightarrow f\left( x \right)={{\left( {{\text{e}}^{-2018x}} \right)}^{\prime }}=-2018{{\text{e}}^{-2018x}}$.
nguyenth4nhtr11ng@gmail.com
Câu 44 . Biểu thức $\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}$ bằng
A. $0$. B. $\frac{2}{\pi }$.
C. $\frac{\pi }{2}$. D. $1$.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung
Chọn B
$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{\pi }$.
maisonltt@gmail.com
Câu 45 . Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)>1$ là
A. $\left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)$. B. $\left( 1;\frac{3}{2} \right)$.
C. $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$. D. $\left[ 1;\frac{3}{2} \right)$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn B
Bất phương trình$\Leftrightarrow 0<x-1<0,5\Leftrightarrow 1<x<\frac{3}{2}$.
Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là: $S=\left( 1;\frac{3}{2} \right).$
hungtoan0913@gmail.com
Câu 46. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Phương trình $f\left( 2\sin x \right)=m$ có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ khi và chỉ khi
A. $m\in \left\{ -3;1 \right\}$. B. $m\in \left( -3;1 \right)$.
C. $m\in \left[ -3;1 \right)$. D. $m\in \left( -3;1 \right]$.
Lời giải
Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung
Chọn A
Ta có bảng biến thiên hàm số $y=g\left( x \right)=2\sin x$ trên $\left[ -\pi ;\pi \right]$.
Phương trình $f\left( 2\sin x \right)=m$ có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\pi ;\pi \right]$ khi và chỉ khi phương trình $f\left( t \right)=m$ có:
Một nghiệm duy nhất $t=0$, nghiệm còn lại không thuộc $\left[ -2;2 \right]$, khi đó $m\in \varnothing $
hoặc một nghiệm $t=2$ nghiệm còn lại thuộc $\left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$, khi đó $m=1$
hoặc một nghiệm $t=-2$, nghiệm còn lại thuộc $\left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$, khi đó $m=-3$.
Vậy $m\in \left\{ -3;1 \right\}$.
Phamthuonghalong@gmail.com
Câu 47. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( 2;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;2 \right)$. Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90{}^\circ $?
A. $0$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Nguyên Bằng; Fb: Phạm Nguyên Bằng
Chọn C
Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$.
Do $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90{}^\circ $ nên các tam giác $\Delta AMB,\Delta BMC,\Delta CMA$ vuông tại $M$.
Khi đó $IM=\frac{AB}{2};JM=\frac{BC}{2};KM=\frac{AC}{2}$. Mặt khác $AB=BC=AC=2\sqrt{2}$.
Vậy $MI=MJ=MK=\sqrt{2}$. Khi đó $M$ thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy $IJK$ và cách $\left( IJK \right)$một khoảng không đổi là $\sqrt{2}$. Khi đó có hai điểm $M$thỏa mãn điều kiện trên.
Binh.thpthauloc2@gmail.com
Câu 48. Tập hợp các số thực $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ có nghiệm thực là
A. $\left( 0;\,+\infty \right)$. B. $\left[ 0;\,+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;\,0 \right)$. D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Bình ; Fb:Phạm Văn Bình
Chọn D
Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là $x>0$.
Dễ thấy $\forall m\in \mathbb{R}$ thì đường thẳng $y=m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{2}}x$ tại đúng một điểm.
Vậy tập hợp các số thực $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}x=m$ có nghiệm thực là $\forall m\in \mathbb{R}$.
Dangai.kstn.bkhn@gmail.com
Câu 49. Cho hàm số $f(x)=(1-x_{{}}^{2})_{{}}^{2019}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên $R$. B. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$.
C. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$. D. Hàm số nghịch biến trên $R$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đăng Ái; Fb: Nguyễn Đăng Ái
Chọn B
Đạo hàm: ${f}'\left( x \right)=2019.\left( 1-x_{{}}^{2} \right)_{{}}^{2018}.{{\left( 1-x_{{}}^{2} \right)}^{\prime }}=2019.\left( 1-x_{{}}^{2} \right)_{{}}^{2018}.\left( -2x \right)$
Nhận thấy ngay: $2019.\left( 1-x_{{}}^{2} \right)_{{}}^{2018}\ge 0$. Nên ta có thể nhận thấy ngay dấu của đạo hàm cùng dấu với $\left( -x \right)$. Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;0 \right)$.
chitoannd@gmail.com
Câu 50. Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng ${{\cos }^{2}}x$.
A. $y=\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}$. B. $y=-\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+C\left( C\in \mathbb{R} \right)$.
C. $y=-\sin 2x$. D. $y=-\sin 2x+C\left( C\in \mathbb{R} \right)$.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb :Nguyễn Văn Chí
Chọn C
Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nếu ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$.
Ta có: ${{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{\prime }}=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$.
