Câu 5: ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì nằm trên cạnh AC ( M không trùng A và C). Một đường thẳng đi qua điểm M cắt cạnh BC tại I và cắt cạnh AB tại N sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm D ( D không trùng A). Chứng minh rằng:
a. $DN=DM$ và $DI\bot MN$
Giải
Ta có $\widehat{NAD}=\widehat{DAM}$ ( Do $AD$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ ) nên $\overset\frown{DN}=\overset\frown{DM}\Rightarrow DN=DM$
Từ đó tam giác $DNM$ cân tại D có $IN=IM\Rightarrow DI$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của $\Delta DMN$ nên $DI\bot MN$
b. Tứ giác BNDI nội tiếp
Giải
Ta có $\overset\frown{ND}=\overset\frown{MD}\Rightarrow \widehat{NAD}=\widehat{MND\,\,}\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Mà $\widehat{ABC}+\widehat{NAD}={{90}^{0}}\,\,\left( 2 \right),\,\,\,\widehat{NDI}+\widehat{MND}={{90}^{0}}\,\,\left( 3 \right)$
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{NDI}$ . Suy ra tứ giác BNDI nội tiếp.
c. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định ( Khác điểm A) khi M di chuyển trên canh AC.
Giải
Theo kết quả câu b) ta có tứ giác BNDI nội tiếp, suy ra $\widehat{NBD}=\widehat{NID}={{90}^{0}}\Rightarrow DB\bot AB$ tại B nên đường thẳng BD cố định.
Mặt khác điểm D nằm trên đường phân giác trong AD của góc $\widehat{BAC}$ (cố định) nên đường thẳng AD cố định, suy ra D cố định.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm D cố định (đpcm)
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với $AB=2a,BC=a.$ Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng thì được hình trụ có thể tích ${{V}_{1}}$ và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích ${{V}_{2}}.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}.$
Giải
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng thì ta được hình trụ có: ${{r}_{1}}=a,{{h}_{1}}=2a\Rightarrow {{V}_{1}}=2\pi {{a}^{3}}$
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì ta được hình trụ có: ${{r}_{2}}=2a,{{h}_{2}}=a\Rightarrow {{V}_{2}}=4\pi {{a}^{3}}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
