|
Câu 4a (0.5đ) |
Xét PT hoành độ giao điểm: ${x^2} = (m - 1)x + {m^2} - 2m + 3 \Leftrightarrow {x^2} - (m - 1)x - ({m^2} - 2m + 3) = 0\,\,(*)$ Ta có ${m^2} - 2m + 3 = {(m - 1)^2} + 2 > 0\,\,(\forall m) \Rightarrow$ PT (*) luôn có 2 nghiệm trái dấu $\Rightarrow \forall m$ thì $(d)$ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. |
|
Câu 4b (1.0đ) |
Để tam giác AOB cân tại O thì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay đường thẳng d song song Ox khi đó: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ Với $m = 1 \Rightarrow$đường thẳng d có phương trình: $y = 2$, tọa độ 2 giao điểm A, B là $( \pm \sqrt 2 ;2)$. Khi đó khoảng cách từ O đến AB là $h = 2$. Độ dài đoạn thẳng $AB = 2\left| {{x_1}} \right| = 2\sqrt 2$ $\Rightarrow$ diện tích tam giác AOB là: ${S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}AB.h = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2 = 2\sqrt 2$ Vậy để tam giác AOB cân tại O thì $m = 1$. Khi đó ${S_{\Delta AOB}} = 2\sqrt 2$ (đvdt) |
|
Câu 5a (1.0đ) |
(Vẽ hình đúng được 0.25 điểm) Vì CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C; DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D. Nên theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OC, OD lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù AOM và BOM nên: $\widehat {COD} = {90^0}$
|
|
Câu 5b (1.0đ) |
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} Mà $\widehat {CMA} = \widehat {KAM} \Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {MDO} \Rightarrow \Delta AKM \sim \Delta DOM\, \Rightarrow \frac{{MA}}{{MK}} = \frac{{MD}}{{MO}}\,\,(1)$ Mặt khác $\widehat {KMO} = \widehat {AMD} = {90^0} + \widehat {AMO}$ (2) Từ (1) và (2), suy ra $\Delta KMO \sim \Delta AMD$ (c.g.c) |
|
Câu 5c (1.0đ) |
Gọi $S = {S_{ABDC}};{S_1} = {S_{\Delta MAB}};{S_2} = {S_{\Delta MAC}};{S_3} = {S_{\Delta MBD}} \Rightarrow {S_2} + {S_3} = S - {S_1}$ R là bán kính đường tròn (O) Ta có: $S = \left( {AC + BD} \right).R = R.\left( {MC + MD} \right)$ $\Delta OMC \sim \Delta DMO \Rightarrow CM.DM = O{M^2} = {R^2}$ Lại có: ${\left( {MC - MD} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {MC + MD} \right)^2} \ge 4MC.MD \Leftrightarrow MC + MD \ge 2R$ Suy ra $\ge 2{R^2}$ (1), dấu “=” xảy ra khi $C = MD$ hay M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). Từ M kẻ $H \bot AB \Rightarrow {S_1} = R.MH \le {R^2}$ (2), dấu “ = “ xảy ra khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). $Rightarrow {S_2} + {S_3} = S - {S_1} \ge 2{R^2} - {R^2} = {R^2}$ Vậy $min ({S_2} + {S_3}) = {R^2}$ khi M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O). |
|
Câu 6a (0.5đ) |
Vì $f(x)+3f(\dfrac{1}{x})={{x}^{2}}\,\,(\forall x\ne 0)$. Nên ta có: \(\left\{ \begin{matrix} f(2)+3f(\dfrac{1}{2})=4 \\ f(\dfrac{1}{2})+3f(2)=\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(2)+3f(\dfrac{1}{2})=4 \\ 3f(\dfrac{1}{2})+9f(2)=\dfrac{3}{4} \\ \end{matrix} \right.\) $\Rightarrow 8f(2)=-\dfrac{13}{4}\Rightarrow f(2)=-\dfrac{13}{32}$ |
|
Câu 6b (0.5đ) |
Giả sử tồn tại các số nguyên tố $,b,c$ thoả mãn yêu cầu bài toán. Theo bài toán ta có $,b,c$ đều là ước của $a + b + c + ab + bc + ca$ $Rightarrow abc$ là ước của $a + b + c + ab + bc + ca$ Giả sử $a + b + c + ab + bc + ca = kabc;\,\,(k \in )$ $\Rightarrow k = \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ Dễ thấy $a,b,c$ đều là số lẻ. Không giảm tính tổng quát giả sử $a < b < c$ $\Rightarrow a \ge 3;b \ge 5;c \ge 7 \Rightarrow k \le \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{35}} < 1$ Vô lí. Do đó, a, b, c không đồng thời là số nguyên tố. |
