|
Câu |
Nội dung |
Điểm |
||
|
Câu 1 |
1) Giải phương trình $(x+1)(2-x)=0$. 2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ gọi $A,\,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $(d)\,y=-2x+4$ với trục $Ox,\,Oy$. Tính diện tích tam giác $OAB$. 3) Cho tam giác $ABC$ có $AB=6\,cm,\,\,AC=8\,cm,\,BC=10\,cm$. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. 4) Một hình lăng trụ đứng có chiều cao bằng $8\,cm$ và mặt đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt bằng $5\,cm,\,12\,cm$. Tính thể tích của hình lăng trụ đó. |
(2,0đ) |
||
|
1) |
+ Ta có $(x + 1)(2 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} |
0,25 |
||
|
+ Vậy tất cả các nghiệm $x$ của phương trình là: $-1;2$. |
0,25 |
|||
|
2) |
+$A$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Ox$, suy ra $A(2;0)$; + $B$ là giao điểm của $(d)$ với trục $Oy$, suy ra $B(0;4)$; |
0,25 |
||
|
+ Tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Diện tích tam giác $OAB$ là: $\dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.2.4=4$ (đvdt). |
|
0,25 |
||
|
3) |
+ Vì ${{6}^{2}}+{{8}^{2}}={{10}^{2}}=100\Rightarrow A{{B}^{2}}+C{{A}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow $ $\Delta ABC$ vuông tại $A$. |
0,25 |
||
|
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $R=\dfrac{BC}{2}=5\,(cm)$. + |
|
0,5 |
||
|
4) |
+ Diện tích của một mặt đáy là: $\mathbf{S}=\dfrac{1}{2}.5.12=30\,\,(c{{m}^{2}})$. |
0,25 |
||
|
+ Thể tích hình lăng trụ là: $\mathbf{V}=\mathbf{S}.\mathbf{h}=30.8=240\,(c{{m}^{3}})$. |
|
0,25 |
||
|
Câu 2 |
Cho biểu thức $P=\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \right)$, (với $x>0$ và $x\ne 1$). 1) Rút gọn biểu thức $P$. 2) Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x=\sqrt{2022+4\sqrt{2018}}-\sqrt{2022-4\sqrt{2018}}$.
|
(1,5đ) |
||
|
1) |
+ Ta có $1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ |
0,25 |
||
|
Và $\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\dfrac{x-1+1-\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\sqrt{x}}=\dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+1 \right)\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ |
0,25 |
|||
|
nên $P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ |
0,25 |
|||
|
$=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$. |
0,25 |
|||
|
2) |
+ Có $x=\sqrt{2022+4\sqrt{2018}}-\sqrt{2022-4\sqrt{2018}}$ $=\sqrt{{{\left( \sqrt{2018}+2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2018}-2 \right)}^{2}}}$ $=\left| \sqrt{2018}+2 \right|-\left| \sqrt{2018}-2 \right|=\sqrt{2018}+2-\sqrt{2018}+2=4$ thỏa mãn điều kiện $x>0$ và $x\ne 1$. |
0,25 |
||
|
+ Vậy giá trị của biểu thức $P$ tại $x=4$ là: $\dfrac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}$. |
0,25 |
|||
|
Câu 3 |
1) Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\text{ }$$(1)$ (với $m$là tham số). a) Giải phương trình (1) với $m=6$. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ sao cho $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Giải phương trình $3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=15-3x+4\sqrt{25-{{x}^{2}}}$. |
(2,5đ) |
||
|
1.a) |
+ Với $m=6$, phương trình (1) trở thành: ${{x}^{2}}-6x-40=0\text{ }$. |
0,25 |
||
|
+ Tính được ${{\Delta }^{'}}=49>0$ |
0,25 |
|||
|
+ Với $m=6$, phương trình (1) có hai nghiệm: $x=3-7=-4;\,\,\,x=3+7=10.$ |
0,25 |
|||
|
1.b) |
+ Có $\Delta =5{{m}^{2}}+16>0,\forall m$ nên $\forall m$, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$. |
0,25 |
||
|
+ Ta có ${{x}_{1,2}}=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ nên $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{\Delta }}{\left| a \right|}=\sqrt{5{{m}^{2}}+16}\ge \sqrt{16}=4,\forall m.$ |
0,25 |
|||
|
+ $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4$ khi và chỉ khi ${{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0$, tức là $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=0$. * Vậy tất cả các giá trị của tham số $m$ cần tìm là: $0$. |
0,25 |
|||
|
2) |
+ Điều kiện $-5\le x\le 5\,(*)$. + Phương trình tương đương với: $3\left( \sqrt{x+5}+2\sqrt{5-x} \right)=15-3x+4\sqrt{25-{{x}^{2}}}$ |
0,25 |
||
|
+ Đặt $t=\,\sqrt{x+5}+2\sqrt{5-x}\Rightarrow 15-3x+4\sqrt{(x+2)(3-x)}={{t}^{2}}-10$. Ta thu được phương trình (ẩn t): ${{t}^{2}}-3t-10=0\Leftrightarrow t=5$ hoặc $t=-2\,$. |
0,25 |
|||
|
+ Với $t=5$, ta có $\sqrt {x + 5} + 2\sqrt {5 - x} = 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |
0,25 |
|||
|
+ Với $t=-2$, ta có $\sqrt{x+5}+2\sqrt{5-x}=-2$ (vô nghiệm, do với điều kiện (*) thì $\sqrt{x+5}+2\sqrt{5-x}>0$). * KL: Vậy tất cả các nghiệm $x$ của phương trình là: $4$. |
0,25 |
|||
