Giải đề thi học kì 1 Q. Đống Đa năm 2018-2019

BÀI

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

I.1

$\text{M}=\left| 1-\sqrt{3} \right|-3.\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{33}{11}}+1$

$\begin{array}{l}
{\rm{M}} = \sqrt 3  - 1 - 3.2\sqrt 3  + \sqrt 3  + 1\\
{\rm{M}} = \sqrt 3  - 1 - 6\sqrt 3  + \sqrt 3  + 1\\
{\rm{M}} =  - 4\sqrt 3 
\end{array}$

0,25

0,25

0,25

0,25

I.2

Điều kiện: x ≥ 1

$2\sqrt{x-1}=1$

$x=\dfrac{5}{4}$ (thỏa mãn điều kiện)

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{5}{4}$

0,25

0,25

0,25

0,25

II.1

Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào A ta có:

A = $\dfrac{2\sqrt{25}-1}{\sqrt{25}-3}$

A = $\dfrac{2.5-1}{5-3}=\dfrac{9}{2}$

0,25

0,25

II.2

$B=\dfrac{2x+3\sqrt{x}+9}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

$B=\dfrac{2x+3\sqrt{x}+9-\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-3 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

$B=\dfrac{x+6\sqrt{x}+9}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$

0,25

0,25

0,25

0,25

II.3

$P=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}=2+\dfrac{-7}{\sqrt{x}+3}$

Ta có x ≥ 0 ⟺ $\sqrt{x}+3\ge 3\Leftrightarrow 2+\dfrac{-7}{\sqrt{x}+3}\ge \dfrac{-1}{3}$

Giá trị nhỏ nhất của P là $\dfrac{-1}{3}$ khi x = 0

0,25

0,25

III.1

Thay m =2 ta có y = x – 4 (d)

0,25

0,25

0,5

III.2

$({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 =  - 3\\
 - 4 \ne 2
\end{array} \right.$

$\left( d \right)//\left( {{d_1}} \right)$ khi m = - 2

0,25

0,25

III.3

Xét phương trình hoành độ của (d) và (d₂):

(m – 1)x – 4 = x – 7

⇔ $x=\dfrac{3}{m-2}$ (m ≠ 2)

Giao điểm của (d) và (d₂) nằm bên trái trục tung

 ⟺ x = $\dfrac{-3}{m-2}<0\Leftrightarrow m>2$

0,25

0,25

IV

Hình vẽ đúng đến câu 1

0,25

1

Chứng minh OC ⊥ BD

CB, CD là hai tiếp tuyến của (O)  (gt)

⟹ CB = CD (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà OB = OD = R

⟹ OC là trung trực của BD ⟹ OC ⊥ BD

0,25

0,25

0,25

2

Chứng minh bốn điểm O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Ta có OB ⊥ BC (BC là tiếp tuyến của (O)

⟹ ∆OBC vuông tại B

⟹ ∆OBC nội tiếp đường tròn đường kính OC

⟹ O, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC

∆ODC vuông tại D ⟹ ∆ODC nội tiếp đường tròn đường kính OC

⟹ O, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC

Vậy O, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OC

0,25

0,25

0,25

0,25

3

Chứng minh: $\widehat {CM{\rm{D}}} = \widehat {CDA}$

Chứng minh CM.CA = CB²

CB = CD nên CM.CA = CD²

∆CMD đồng dạng ∆CDA (c.g.c)

Suy ra  $\widehat {CM{\rm{D}}} = \widehat {CDA}$

0,25

0,25

0,25

0,25

4

Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất

Chu vi ∆OMH = R + OH + MH

(OH + MH)² = R² + 2.OH.MH ≤ 2R²

Chu vi ∆OMH lớn nhất bằng (1 + $\sqrt{2})\text{R}$ khi điểm M thuộc (O) thỏa mãn $\widehat {BOM} = {45^0}$ 

0,25

0,25

V

Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn: xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 3x² + 3y² + z²

x² + y² ≥ 2xy; 2x² + $\dfrac{{{z}^{2}}}{2}$ ≥ 2xz; 2y² + $\dfrac{{{z}^{2}}}{2}$≥ 2yz

T = 3x² + 3y² + z² ≥ 2xy + 2xz + 2yz = 10

Gía trí nhỏ nhất của T là 10 khi x = y = 1; z = 2

0,25

0,25