Bài 1:
a. Điều kiện xác định: $x \ne 0;x \ne \pm 1;x \ne \pm \sqrt 2 $. Khi đó:
$A=\left( \dfrac{{{x}^{3}}-1}{x-1}+x \right)\left( \dfrac{{{x}^{3}}+1}{x+1}-x \right):\dfrac{x{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2}$
$A=\left[ \dfrac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}{x-1}+x \right]\left[ \dfrac{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{x+1}-x \right]\cdot \dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$
$A=\left( {{x}^{2}}+x+1+x \right)\left( {{x}^{2}}-x+1-x \right)\cdot \dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}}$
$A=\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\cdot \dfrac{{{x}^{2}}-2}{x{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
$A=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{x{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$
$A=\dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$
Vậy $A=\dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}$ với $x\ne 0;\,\,x\ne \pm 1;\,\,x\ne \pm \sqrt{2}$
b. Thay $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A đã rút gọn, ta được:
$A=\dfrac{{{\left( \sqrt{6+2\sqrt{2}} \right)}^{2}}-2}{\sqrt{6+2\sqrt{2}}}=\dfrac{6+2\sqrt{2}-2}{\sqrt{6+2\sqrt{2}}}=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{\sqrt{6+2\sqrt{2}}}$
$\Rightarrow {{A}^{2}}={{\left( \dfrac{4+2\sqrt{2}}{\sqrt{6+2\sqrt{2}}} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( 4+2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{\left( \sqrt{6+2\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=\dfrac{24+16\sqrt{2}}{6+2\sqrt{2}}=\dfrac{4\left( 3+2\sqrt{2} \right)}{3+\sqrt{2}}$
$\Rightarrow {{A}^{2}}=\dfrac{4\left( 3+2\sqrt{2} \right)\left( 3-\sqrt{2} \right)}{\left( 3+\sqrt{2} \right)\left( 3-\sqrt{2} \right)}=\dfrac{4\left( 5+3\sqrt{2} \right)}{7}=\dfrac{4\left( 35+21\sqrt{2} \right)}{49}$
Mà $A>0$ (do $A=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{\sqrt{6+2\sqrt{2}}}$) nên $A=\dfrac{2\sqrt{35+21\sqrt{2}}}{7}$
Vậy $A=\dfrac{2\sqrt{35+21\sqrt{2}}}{7}\,\,\,khi\,\,\,x=\sqrt{6+2\sqrt{2}}$
c. Với $x\ne 0;\,\,x\ne \pm 1;\,\,x\ne \pm \sqrt{2}$, để $A=-1$ thì $\dfrac{{{x}^{2}}-2}{x}=-1$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {x^2} - 2 = - x\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) + \left( {2{\rm{x}} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 ( không \quad thỏa \quad mãn )\\
x = - 2 ( thỏa \quad mãn )
\end{array} \right.
\end{array}$
(Có thể nhẩm nghiệm bằng Viét hoặc dùng công thức nghiệm)
Vậy để $A=-1$ thì $x=-2$.
Bài 2: Đổi $4h45'=4,75\,h$
Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là x (h), thời gian ô tô đi từ B đến C là y (h).
(Điều kiện: $0<x;\,\,y<4,75)$
Vì tổng thời gian ô tô đi từ A đến C là 4h45’ nên: $x+y=4,75\,\,\,\left( 1 \right)$
Vì vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là 40 km/h, khi đi từ B đến C là 30 km/h mà quãng đường BC ngắn hơn quãng đường AB là 15km nên: $40\text{x}-30y=15\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4,75\\
40{\rm{x}} - 30y = 15
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
40{\rm{x}} + 40y = 190\\
40{\rm{x}} - 30y = 15
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4,75\\
70y = 175
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2,25\,\,(thỏa mãn)\\
y = 2,5\,\,(thỏa mãn)
\end{array} \right.$
Quãng đường AB dài là: $40\cdot 2,25=90$ (km).
Quãng đường BC dài là: $30\cdot 2,5=75$ (km).
Vậy quãng đường AB, BC dài lần lượt là: 90km, 75km.
Bài 3:
a. Xét hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\,\,$
Lập bảng giá trị của hàm số:
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\,$là một parabol đi qua các điểm có tọa độ là: $\left( -4;8 \right);\left( -2;2 \right);$ $\left( 0;0 \right);\left( 4;8 \right);\left( 2;2 \right)$.
Vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\,\,\left( P \right):$
b. Để điểm $C\left( -2;m \right)\in \left( P \right)$ thì thay $x=-2;y=m$ vào hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\,$ta được:$m=\dfrac{1}{2}\cdot {{\left( -2 \right)}^{2}}\,=2$
Vậy để $C\left( -2;m \right)\in \left( P \right)$ thì $m=2$
c. Giải hệ phương trình:
$1)\left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x}} - 3y = 8\\
x + 3y = 7
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x}} - 3y = 8\\
2{\rm{x}} + 6y = 14
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9y = 6\\
x + 3y = 7
\end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{2}{3}\\
x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 7
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{2}{3}\\
x = 5
\end{array} \right.\,\,$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( x;y \right)=\left( 5\,;\dfrac{2}{3} \right)$
$2)\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = xy + 2\\
\left( {x - 1} \right)\left( {y + 3} \right) = xy - 2
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
xy - x + 3y - 3 = xy + 2\\
xy + 3{\rm{x}} - y - 3 = xy - 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,$
$ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
- x + 3y = 5\\
\,\,\,3{\rm{x}} - y = 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
- x + 3y = 5\\
\,\,\,y = 3{\rm{x}} - 1
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
- x + 3\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) = 5\\
\,\,\,y = 3{\rm{x}} - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,$
$ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
- x + 9{\rm{x - 3}} = 5\\
\,\,\,y = 3{\rm{x}} - 1
\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{8x}} = 8\\
\,\,\,y = 3{\rm{x}} - 1
\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{x}} = 1\\
y = 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( x;y \right)=\left( 1;2 \right)$
Bài 4:
a. Vì $MI\bot AB,MH\bot BC$ (I, H là chân các đường vuông góc) nên $\widehat{MIB}=\widehat{MHB}={{90}^{0}}$
Tứ giác BIMH có tổng hai góc đối: $\widehat{MIB}+\widehat{MHB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$ nên tứ giác BIMH nội tiếp (đpcm).
b. Theo câu (a), tứ giác BIMH nội tiếp nên $\widehat{MIH}=\widehat{MBH};\widehat{\,\,MHI}=\widehat{MBI}$ (1)
Tương tự câu (a), tứ giác MHCK nội tiếp nên $\widehat{MHK}=\widehat{MCK};\,\,\,\widehat{MKH}=\widehat{MCH}$ (2)
Lại có: $\widehat{MBH}=\widehat{MCK};\,\,\widehat{MBI}=\widehat{MCH}$ (3) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn thì bằng nhau)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat{MIH}=\widehat{MHK};\,\,\,\widehat{MHI}=\widehat{MKH}$ nên $\Delta MIH$ ∽ $\Delta MHK$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MH}{MK}\Rightarrow M{{H}^{2}}=MI\cdot MK$ (đpcm).
c. Từ (1) và (3) ta có: $\widehat{MHI}=\widehat{MCH}\,\,\,hay\,\,\,\widehat{MHP}=\widehat{MCB}$ (4)
Từ (2) và (3) ta có: $\widehat{MHK}=\widehat{MBH}\,\,\,hay\,\,\,\widehat{MHQ}=\widehat{MBC}$ (5)
Từ (4) và (5), ta được: $\widehat{PHQ}=\widehat{MHP}+\widehat{MHQ}=\widehat{MCB}+\widehat{MBC}$
Tứ giác MPHQ có : $\widehat{PMQ}+\widehat{PHQ}=\widehat{BMC}+\widehat{MCB}+\widehat{MBC}={{180}^{0}}$ nên tứ giác MPHQ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng ${{180}^{0}}$) (đpcm).
Bài 5: Với $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước, ta có:
$P=\left( \sqrt{x}+\dfrac{a}{\sqrt{x}} \right)\left( \sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}} \right)=x+\dfrac{ab}{x}+a+b$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $x$ và $\dfrac{ab}{x}$, ta được:
$x+\dfrac{ab}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \dfrac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}$
$\Rightarrow x+\dfrac{ab}{x}+a+b\ge 2\sqrt{ab}+a+b={{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}$
Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ab}}{x}\\
x > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt {ab} $
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là ${{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^{2}}$ khi $x=\sqrt{ab}$ với $x>0$; a, b là các hằng số dương cho trước.
