Bài 1 (2,5 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y=-x+2.$
a. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b. Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và (d). Tính diện tích tam giác OAB.
Giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
$\begin{array}{l}
{x^2} = - x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\
Có \quad a + b + c = 0 (1 + 1 - 2 = 0)\\
\Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1;\;{x_2} = \dfrac{c}{a} = - 2
\end{array}$
Vậy tọa độ các giao điểm là A(-2; 4) và B(1;1)
b) Gọi D là hình chiếu của A trên Ox, E là giao điểm của (d) với Ox
$\Rightarrow$ D(-2;0) và E(2;0)
Khi đó :
$\begin{array}{l}
{S_{AOB}} = {S_{A{\rm{D}}E}} - ({S_{A{\rm{D}}O}} + {S_{OBE}}) = \dfrac{1}{2}A{\rm{D}}.DE - \dfrac{1}{2}(A{\rm{D}}.DO + BF.EO)\\
= \dfrac{1}{2}4.4 - \dfrac{1}{2}(4.2 + 1.2) = 8 - 5 = 3(dv{\rm{d}}t)
\end{array}$
Bài 2 (2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 860 chi tiết máy. Đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10%. Do đó, tháng thứ hai cả 2 tổ sản xuất được 964 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu.
Giải
Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng đầu là x (cái), tổ II sản xuất được trong tháng đầu là y (cái) (đk: x, y $ \in {{\rm{N}}^{\rm{*}}}$).
Khi đó số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là $(1+\dfrac{10}{100})x$ (cái), tổ II sản xuất được trong tháng thứ hai là $(1+\dfrac{15}{100})y$ (cái)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 860\\
\frac{{11}}{{10}}x + \frac{{115}}{{100}}y = 964
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 860\\
1,1x + 1,15y = 964
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 860 - y\\
1,1(860 - y) + 1,15y = 964
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 860 - y\\
946 - 1,1y + 1,15y = 964
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 860 - y\\
0,05y = 18
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 500\\
y = 360
\end{array} \right.(tm{\rm{d}}k)
\end{array}$
Vậy số chi tiết máy tổ I và tổ II đã sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là 500 (cái) và 360 (cái)
Bài 3 (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K.
a) Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp
b) Chứng minh BF vuông góc với AK và $EK.EF=EA.EB$
c) Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.
Giải
a) Trong tam giác AMB có M thuộc đường tròn đường kính AB $\Rightarrow$ góc AMB = 900
Lại có dây CD vuông góc với AB tại E nên góc CEB = 900 $\Rightarrow$ góc FEB = 900
Xét tứ giác BMFE có $\widehat{FMB}+\widehat{F\text{E}B}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}} \Rightarrow$ tứ giác BMFE nội tiếp đường tròn đường kính BF
b) Trong tam giác ABK có $\left. \begin{array}{l}
AM \bot BK\\
KE \bot AB\\
KE \cap AM = F
\end{array} \right\} \Rightarrow F$ là trực tâm của tam giác BK $\Rightarrow$ ${\rm{BF}} \bot AK$
Gọi J là giao điểm của BF và AK. Dễ thấy tứ giác KMFJ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{FKJ}=\widehat{FMJ}$ ( Góc nội tiếp chắn cung FJ)
Mà trong (O) thì $\widehat{FMJ}=\widehat{ABJ}$ ( Góc nội tiếp chắn cung AJ)
Xét $\Delta E\text{A}K$ và $\Delta \text{EF}B$ có $\left. \begin{array}{l}
\widehat {KE{\rm{A}}} = \widehat {F{\rm{E}}B} = {90^0}\\
\widehat {AKE} = \widehat {FBE}(cmt)
\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta E{\rm{A}}K \sim \Delta {\rm{EF}}B(g.g) \Rightarrow \dfrac{{E{\rm{A}}}}{{{\rm{EF}}}} = \dfrac{{EK}}{{EB}} \Rightarrow E{\rm{A}}.EB = EK.{\rm{EF}}$
c) Ta có $AB\bot C\text{D}(gt)$ => A là điểm chính giữa cung DC $\Rightarrow$ $\overset\frown{A\text{D}}=\overset\frown{AC}$
Ta có $\widehat{\text{IF}M}=\dfrac{1}{2}(s\text{d }\overset\frown{CM}+s\text{d}\overset\frown{A\text{D}})=\dfrac{1}{2}(s\text{d }\overset\frown{CM}+s\text{d}\overset\frown{A\text{C}})=\dfrac{1}{2}s\text{d}\overset\frown{AM}\quad (1)$
Ta có $\widehat{IFM}=\dfrac{1}{2}sd\overset\frown{AM}$ ( Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{IF}M}=\widehat{\text{IMF}}\Rightarrow \Delta \text{IMF}$ cân tại I => IM=IF (3)
Ta có
$\left. \begin{array}{l}
\widehat {{\rm{IMF}}} + \widehat {IMK} = {90^0}\\
\widehat {{\rm{IF}}M} + \widehat {IKM} = {90^0}\\
\widehat {{\rm{IF}}M} = \widehat {{\rm{IMF}}}(cmt)
\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {IMK} = \widehat {IKM} \Rightarrow \Delta IKM$ cân tại I $\Rightarrow$ IK = IM (4)
Từ (3) và (4) suy ra IK=IF.
Bài 4 (1,0 điểm): Với các số a, b, c > 0 và thỏa mãn $a+b+c=1.$
Chứng minh $\dfrac{a}{1+9{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+9{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+9{{a}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}$
Giải
Ta chứng minh bđt phụ sau: ${{(a+b+c)}^{2}}\ge 3(ab+ac+bc)$(1)
Thật vậy ta có :
$\begin{array}{l}
{(a + b + c)^2} \ge 3(ab + ac + bc)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2{\rm{a}}c - 3{\rm{a}}b - 3{\rm{a}}b - 3bc \ge 0\\
\Leftrightarrow 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) - 2(ab + ac + bc) \ge 0\\
\Leftrightarrow ({a^2} - 2{\rm{a}}b + {b^2}) + ({b^2} - 2bc + {c^2}) + ({a^2} - 2{\rm{a}}c + {c^2}) \ge 0\\
\Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(a - c)^2} + {(b - c)^2} \ge 0
\end{array}$
Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức (1) đúng
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $\text{a}=\text{b}=\text{c}$.
Ta có $\dfrac{a}{1+9{{b}^{2}}}=\dfrac{a(1+9{{b}^{2}})-9\text{a}{{b}^{2}}}{1+9{{b}^{2}}}=a-\dfrac{9\text{a}{{b}^{2}}}{1+9{{b}^{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :$1+9{{b}^{2}}\ge 2\sqrt{9{{b}^{2}}}=6b\Rightarrow \dfrac{9\text{a}{{b}^{2}}}{1+9{{b}^{2}}}\le \dfrac{9\text{a}{{b}^{2}}}{6b}=\dfrac{3}{2}ab$
$\Rightarrow \dfrac{a}{1+9{{b}^{2}}}=a-\dfrac{9\text{a}{{b}^{2}}}{1+9{{b}^{2}}}\ge a-\dfrac{3}{2}ab$
Tương tự ta có $\dfrac{b}{1+9{{c}^{2}}}=b-\dfrac{9b{{c}^{2}}}{1+9{{c}^{2}}}\ge b-\dfrac{3}{2}bc$
$\dfrac{c}{1+9{{a}^{2}}}=c-\dfrac{9b{{a}^{2}}}{1+9{{a}^{2}}}\ge c-\dfrac{3}{2}ac$
Do đó
$\begin{array}{l}
\dfrac{a}{{1 + 9{b^2}}} + \dfrac{b}{{1 + 9{c^2}}} + \dfrac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge (a + b + c) - \dfrac{3}{2}(ab + bc + ac)\\
\Rightarrow \dfrac{a}{{1 + 9{b^2}}} + \dfrac{b}{{1 + 9{c^2}}} + \dfrac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge (a + b + c) - \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{3}{(a + b + c)^2}\quad (theo\;(1))\\
\Rightarrow \frac{a}{{1 + 9{b^2}}} + \dfrac{b}{{1 + 9{c^2}}} + \dfrac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge 1 - \dfrac{1}{2}.1 = \frac{1}{2}
\end{array}$
Vậy $\dfrac{a}{1+9{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{1+9{{c}^{2}}}+\dfrac{c}{1+9{{a}^{2}}}\ge \dfrac{1}{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.
