Đề 9: Tỉnh Bình Dương

Câu 1 (3,0 điểm)

a)   Giải phương trình: $7+2\sqrt{x}-x=\left( 2+\sqrt{x} \right)\sqrt{7-x}$.

b)  Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $\left( x+\sqrt{2018+{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{2018+{{y}^{2}}} \right)=2018$.

Tính giá trị của biểu thức: $Q={{x}^{2019}}+{{y}^{2019}}+2018\left( x+y \right)+2020$.

Câu 2 (1,5 điểm)

Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-6=0$. Tìm tất cả các giá trị m nguyên dương để $A={{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)}^{2}}$ có giá trị nguyên.

Câu 3 (2,0 điểm)

a)   Tính giá trị của biểu thức:

  $P=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{2025\sqrt{2024}+2024\sqrt{2025}}$.

b)  Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right)$.

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A và C khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D.

a)   Chứng minh rằng: KO² – KM² = R².

b) Chứng minh rằng tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp.

c)   Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn.

-------------------- HẾT --------------------

Họ và tên thí sinh: ....................................................           Số báo danh: .........................................

Chữ kí của giám thị 1: ..............................................          Chữ kí của giám thị 2: ..........................