Đề 7: Chuyên Trà Vinh

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: $Q=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\left( 1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}} \right):\dfrac{y}{x-\sqrt{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}$ với $x>y>0$.

1.   Rút gọn Q.

2.   Xác định giá trị của Q khi $x=3y$.

Bài 2. (1,0 điểm)

Cho đường thẳng $(d):y=ax+b$. Tìm $a,b$ biết đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol $(P):y={{x}^{2}}$ tại điểm $A(-1;1)$.

Bài 3. (2,0 điểm)

1.   Giải phương trình: $\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\sqrt{{{x}^{2}}-4}}=8-{{x}^{2}}$

2.   Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2y + 1\\
xy = x + 1
\end{array} \right.$

Bài 4. (1,0 điểm)

Với $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: $({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}){{x}^{2}}-4bcx+({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})=0$.

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2$.

Chứng minh: $\dfrac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\dfrac{2}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{2}{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}\le \dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{2xyz}+3$.

Bài 6. (3,0 điểm)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ $MI\bot AB,MK\bot AC$ ($I\in AB,K\in AC$).

1.   Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2.   Vẽ $MP\bot BC\text{ }(P\in BC)$. Chứng minh $\widehat{MPK}=\widehat{MIP}$.

3.   Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích $MI.MK.MP$ đạt giá trị lớn nhất.

-------------------- HẾT --------------------