Câu 41: Đáp án A
Đặt $A=\int\limits_{3}^{4}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 4 \right)-f\left( 3 \right)$
$B=\int\limits_{-1}^{0}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( 0 \right)-f\left( 1 \right)$
$C=\int\limits_{-4}^{-3}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{-4}^{-3}{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x-2}dx}=f\left( -3 \right)-f\left( -4 \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right) + f\left( { - 3} \right) - f\left( { - 4} \right) = A + B + C\\
\Leftrightarrow f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) + f\left( 0 \right) - \left( {A + B + C} \right) = f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\\
\Leftrightarrow f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right) = \frac{1}{3} - \left( {A + B + C} \right)
\end{array}$
Dùng máy tính bỏ túi tính A, B, C và so sánh các đáp án $\Rightarrow f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)-f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{3}\ln 2+\dfrac{1}{3}$
Câu 42: Đáp án B
Dùng máy tính bỏ túi tính $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{\sqrt{5{{x}^{2}}+4}}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow T={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26}$
Câu 43: Đáp án C
$\begin{array}{l}
2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4co{s^2}2x \Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + m\sin 2x + 2m + 4 = 4\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x + 4{\sin ^2}2x + m\sin 2x + 2m = 0
\end{array}$
Đặt $t=\sin 2x\Rightarrow t\in \left( 0;\dfrac{\pi }{6} \right)\Leftrightarrow t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right),$ ta được $\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+mt+2m=0\Leftrightarrow \left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0$
Vì $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow t+2>0,$ vậy $\left( t+2 \right)\left( 2{{t}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{-m}{2}$
Với $t\in \left( 0;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow 0\le {{t}^{2}}<\dfrac{3}{4},$ vậy để phương trình có nghiệm thì $0<\dfrac{-m}{2}<\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2}<m<0$
$\Rightarrow m=-1\left( m\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow $ Có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Đáp án D
Đặt độ dài $AB=b,$ chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: $B\equiv O,$ tia BA trùng với Ox, BC trùng với Oy, tia Bz song song với SA.
Khi đó: $B\left( 0;0;0 \right),A\left( b;0;0 \right),C\left( 0;2\text{a};0 \right),S\left( b;0;2a\sqrt{3} \right).$
M là trung điểm AC $\Rightarrow M\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\left( b;0;0 \right),\overrightarrow{MS}=\left( \dfrac{b}{2};-a;2a\sqrt{3} \right),\overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{b}{2};a;0 \right)$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right].\overrightarrow{BM} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MS} \right] \right|}\Rightarrow \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
