Câu 27: Đáp án A
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} \\
\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'}
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB.BC.\cos 120^\circ + B{B'^2} = \frac{3}{2}{a^2}\]
\[ \Rightarrow \cos \left( {AB';BC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} } \right|}}{{AB'.BC'}} = \frac{{\frac{3}{2}{a^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{{B'}^2}} .\sqrt {B{C^2} + C{{C'}^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {AB';BC'} \right) = 60^\circ \]
Câu 28: Đáp án D
Ta chọn được $f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+3}$ thỏa mãn.
Thật vậy ${f}'\left( x \right)=-1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}=\dfrac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+3}}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\,\forall x\in \mathbb{R}.$
$f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty .$
$f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}=\dfrac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0.$
Với $f\left( x \right)=-x+\sqrt{{{x}^{2}}+5}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{4}{x}\Rightarrow x=2$ thỏa mãn $f\left( x \right)=g\left( x \right)-1$.
Câu 29: Đáp án A
Ta có ${{\left( \dfrac{1}{x}-x+2{{\text{x}}^{2}} \right)}^{9}}=\dfrac{{{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{\text{x}}^{3}} \right)}^{9}}}{{{x}^{9}}}$.
Ta cần tìm hệ số của ${{x}^{12}}$ trong khai triển $P={{\left( 1-{{x}^{2}}+2{{\text{x}}^{3}} \right)}^{9}}$.
Ta có \[P = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( {2{{\rm{x}}^3} - {x^2}} \right)}^k} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 6\\
k = 5\\
k = 4
\end{array} \right.} \] thỏa mãn
+) Với $k=6\Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{6}.{{\left( -1 \right)}^{6}}=84.$
+) Với $k=4\Rightarrow $ hệ số $C_{9}^{4}{{.2}^{4}}=2016.$
+) Với $k=5\Rightarrow C_{9}^{k}{{\left( 2{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}^{k}}=126{{\text{x}}^{10}}{{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{5}}=126{{\text{x}}^{10}}\sum\limits_{{k}'=0}^{5}{C_{5}^{{{k}'}}.{{\left( 2\text{x} \right)}^{{{k}'}}}.{{\left( -1 \right)}^{5-{k}'}}}$
${k}'=2\Rightarrow $ hệ số $126.C_{5}^{2}{{.2}^{2}}.{{\left( -1 \right)}^{5-2}}=-5040.$
Vậy hệ số cần tìm là $84+2016-5040=-2940.$
Câu 30: Đáp án C
Chọn hệ trục như hình vẽ và cắt mặt nước theo thiết diện là tam giác vuông $PNM$. Hình chiếu vuông góc của mặt phẳng thiết diện xuống đáy là nửa đường tròn đường kính $AB$
Ta có: $S\cos \varphi =\dfrac{1}{2}{{S}_{\left( C \right)}}=\dfrac{1}{2}.\pi {{R}^{2}}=\dfrac{9}{2}\pi $ với $\varphi =\widehat{\left( MAB \right);\left( NAB \right)}$
Lại có: $\cos \varphi =\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{26}}$
Do đó $S=\dfrac{9\pi \sqrt{26}}{2}$.
