|
|
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2016 - 2017 Môn: TOÁN (chuyên) (Đề thi gồm: 01 trang) |
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Đơn giản biểu thức $\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+2-2\sqrt{x+1}}$ với $x>0.$
b) Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện $a+b+c=6$; $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{47}{60}.$
Tính giá trị của biểu thức $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}.$
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt{1-3x}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3{y^2} - 3x - 1 = 0\\
{x^2} - {y^2} - x - 4y + 5 = 0.
\end{array} \right.$
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $\left( O \right).$ Các đường cao $AK,BM,CN$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H.$
a) Chứng minh $\widehat{NKH}=\widehat{MKH}.$
b) Đường thẳng $MN$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm $I,J.$ Chứng minh $AO$ đi qua trung điểm của $IJ.$
c) Gọi $P$ là trung điểm của $BC,$ diện tích tứ giác $AMHN$ là $S.$ Chứng minh $2.O{{P}^{2}}>S.$
Câu 4 (1,5 điểm).
a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên $\left( x,y,z \right)$ thỏa mãn $xyz\ne 0$ và ${{x}^{5}}+8{{y}^{3}}+7{{\text{z}}^{2}}=0.$
b) Tìm tất cả các số nguyên không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=6abc$ và ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+1$ chia hết cho $a+b+c+1.$
Câu 5 (1,5 điểm).
a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $\left( x-y \right)\left( x-z \right)=1;\,\,y\ne z.$ Chứng minh
$\dfrac{1}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( y-z \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( z-x \right)}^{2}}}\ge 4.$
b) Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4. Ta thực hiện cách viết thêm các số lên bảng như sau: nếu trên bảng đã có hai số, giả sử là $a,b\,;\,\,a\ne b$, ta viết thêm lên bảng số có giá trị là $a+b+ab.$ Hỏi với cách thực hiện như vậy, trên bảng có thể xuất hiện số $2016$ được hay không? Giải thích.
