Câu 1. (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức \[T=\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)\]
b) Cho $x+\sqrt{3}=2.$ Tính giá trị của biểu thức: $H={{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-20x+2023$
Câu 2. ( 1,0 điểm). Cho Parabol $(P):y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $(d):y=\left( m+1 \right)x-{{m}^{2}}-\frac{1}{2}$ ($m$ là tham số).
Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $(d)$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm $A({{x}_{1}};{{y}_{1}}),B({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ sao cho biểu thức
$T={{y}_{1}}+{{y}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3. (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{6x-14}={{x}^{2}}-5$
b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) = 10\\
\left( {x + y} \right)\left( {xy - 1} \right) = 3
\end{array} \right.$
Câu 4. (3,0 điểm). Cho đường tròn $\left( O;R \right)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Trên dây $BC$
lấy điểm $M$($M$ khác $B$ và $C$). Trên dây $BD$ lấy điểm $N$ sao cho $\widehat{MAN}=\dfrac{1}{2}\widehat{CAD}$; $AN$ cắt $CD$ tại $K$.
Từ $M$ kẻ $MH\bot AB$$\left( H\in AB \right)$.
a) Chứng minh tứ giác $ACMH$ và tứ giác $ACMK$ nội tiếp.
b) Tia $AM$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$ ($E$ khác $A$). Tiếp tuyến tại $E$ và $B$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $F$.
Chứng minh rằng $AF$ đi qua trung điểm của $HM$.
c) Chứng minh $MN$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên dây $BC$ $\left( M \right.$khác
$B$ và $\left. C \right).$
Câu 5. (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $16p+1$ là lập phương của số nguyên dương.
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên $\left( a,b \right)$ thỏa mãn $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-7\left( a+b \right)=-4$
Câu 6. ( 1,0 điểm).
a) Cho $x,y$ là hai số dương. Chứng minh rằng: $\dfrac{{{x}^{2}}}{y}+\dfrac{{{y}^{2}}}{x}\ge x+y$
b) Xét các số thực $a,b,c$ với $b\ne a+c$ sao cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm thực $m,n$ thỏa mãn $0\le m,n\le 1.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=\dfrac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$
HẾT
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:...................................................
Chữ ký của giám thị 1:..............................................Chữ ký của giám thị 2:....................................
