4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4.1. Phương pháp đổi biến
4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
4.1.1.1. Định lí
Nếu 1) Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ \alpha ;\,\,\beta \right]$
2) Hàm hợp $f(u(t))$ được xác định trên $\left[ \alpha ;\,\,\beta \right]$,
3) $u(\alpha )=a,\,\,u(\beta )=b$
Khi đó: $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(u(t)){{u}^{'}}(t)dt}$.
4.1.1.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Đặt $x=u\left( t \right)$
- Bước 2: Tính vi phân hai vế : $x=u(t)\Rightarrow dx=u'(t)dt$
Đổi cận: $\left| \begin{array}{l}
x = b\\
x = a
\end{array} \right. \Rightarrow \left| \begin{array}{l}
t = \beta \\
t = \alpha
\end{array} \right.$
- Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t
Vậy: $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left[ u(t) \right]u'(t)dt}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{g(t)dt}$ $ = G(t)\left| \begin{array}{l}
\beta \\
\alpha
\end{array} \right. = G(\beta ) - G(\alpha )$
4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2
4.1.2.1. Định lí
Nếu hàm số $u=u(x)$đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ sao cho $f(x)dx=g\left( u(x) \right)u'(x)dx=g(u)du$ thì: $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$.
4.1.2.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Đặt $u=u(x)\Rightarrow du={{u}^{'}}(x)dx$
- Bước 2: Đổi cận : $\left| \begin{array}{l}
x = b\\
x = a
\end{array} \right. \Rightarrow \left| \begin{array}{l}
u = u(b)\\
u = u(a)
\end{array} \right.$ - Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo $u$
Vậy: $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{g\left[ u(x) \right]}.u'(x)dx=\int\limits_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}$
4.2. Phương pháp tích phân từng phần
4.2.1. Định lí
Nếu $u\left( x \right)$ và $v\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ a;b \right]$ thì:
$\int\limits_a^b {u(x)v} '(x)d{\rm{x}} = (u(x)v(x))\left| \begin{array}{l}
b\\
a
\end{array} \right. - u'(x)d{\rm{x}}$ Hay $\int\limits_a^b {udv} $ $= uv\left| \begin{array}{l}
b\\
a
\end{array} \right.$$ - \int\limits_a^b {vdu} $ Hay $\int\limits_a^b {udv} $ $= uv\left| \begin{array}{l}
b\\
a
\end{array} \right.$$ - \int\limits_a^b {vdu} $
4.2.2. Phương pháp chung
- Bước 1: Viết $f\left( x \right)dx$ dưới dạng $udv=u{{v}^{'}}dx$ bằng cách chọn một phần thích hợp của $f\left( x \right)$ làm $u\left( x \right)$ và phần còn lại $dv=v'(x)dx$
- Bước 2: Tính $du=u'dx$ và $v=\int{dv}$$=\int{v'(x)dx}$
- Bước 3: Tính $\int\limits_a^b {vu'(x)dx} $ và $uv\left| \begin{array}{l}
b\\
a
\end{array} \right.$
* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
|
Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lốc-đa-mũ-lượng |
$\int\limits_{a}^{b}{P(x){{e}^{x}}dx}$ |
$\int\limits_{a}^{b}{P(x)\ln xdx}$ |
$\int\limits_{a}^{b}{P(x)\cos xdx}$ |
$\int\limits_{a}^{b}{{{e}^{x}}\cos xdx}$ |
|
u |
P(x) |
lnx |
P(x) |
${{e}^{x}}$ |
|
dv |
${{e}^{x}}dx$ |
P(x)dx |
cosxdx |
cosxdx |
Chú ý: Nên chọn $u$ là phần của $f\left( x \right)$ mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn $dv={{v}^{'}}dx$ là phần của $f\left( x \right)dx$ là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
