1. Các kiến thức cần nhớ
a. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Trường hợp 1: Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ cắt nhau
Khi đó $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn $AB$.
Hệ thức liên hệ $R - r < OO' < R + r$
Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$.
Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R - r$.
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $\left( {R > r} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.
Khi đó $A$ nằm trên đường nối tâm và $OO' = R + r$.
Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau
+) Hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$$\left( {R > r} \right)$ ở ngoài nhau.
Ta có $OO' > R + r$
+) Hai đường tròn đựng nhau
Ta có $OO' < R - r$
+) Hai đường tròn đồng tâm
Ta có $OO' = 0$.
Ta có bảng sau
Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm $d$ và các bán kính $R$ và $r$
|
Vị trí tương đối của hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $R > r$ |
Số điểm chung |
Hệ thức giữa $d$ và $R,r$ |
|
Hai đường tròn cắt nhau |
$2$ |
$R-r < d < R + r$ |
|
Hai đường tròn tiếp xúc nhau |
$1$ |
|
|
- Tiếp xúc ngoài |
$d = R + r$ |
|
|
- Tiếp xúc trong |
$d = R--r$ |
|
|
Hai đường tròn không giao nhau |
$0$ |
|
|
-Ở ngoài nhau |
$d > R + r$ |
|
|
- $\left( O \right)$ đựng \(\left( {O'} \right)\) |
$d < R - r$ |
|
|
- $\left( O \right)$ và \(\left( {O'} \right)\) đồng tâm |
$d = 0$ |
b. Tính chất đường nối tâm
Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn. Từ đó suy ra :
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Phương pháp:
Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
+) Hệ thức \(d = R + r\)
Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (nếu cần)
Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp:
Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
Hệ thức liên hệ : $R-r < d < R + r$
Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
