1. Định nghĩa
a) Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) đều khác (overrightarrow 0 ). Khi đó:
Góc giữa hai véc tơ (overrightarrow a ,overrightarrow b ), kí hiệu (left( {overrightarrow a ;overrightarrow b } right)) và (left( {overrightarrow a ;overrightarrow b } right) = left( {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {OB} } right) = widehat {AOB}).
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:
a. (overrightarrow {BA} ) và (overrightarrow {BC} )
b. (overrightarrow {CA} ) và (overrightarrow {BC} )
Giải:
Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.
a. Ta có: (left( {overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} } right) = widehat {ABC} = {45^0})
b. Dựng véc tơ (overrightarrow {CD} = overrightarrow {BC} ) thì (left( {overrightarrow {CA} ,overrightarrow {BC} } right) = left( {overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CD} } right) = widehat {ACD} = {135^0})
b) Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) là một số thực được xác định bởi: (overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|left| {overrightarrow b } right|.cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)).
Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} $.
Giải:
Ta có: $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} = left| {overrightarrow {BA} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cos left( {overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} } right)$
Mà $left| {overrightarrow {BA} } right| = BA = 1$, $left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = sqrt 2 $, $left( {overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} } right) = widehat {ABC} = {45^0}$ nên:
$overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} = 1.sqrt 2 .cos {45^0} = sqrt 2 .dfrac{{sqrt 2 }}{2} = 1$.
Vậy $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} =1$
2. Tính chất
Với ba véc tơ bất kì (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) và mọi số thực $k$ ta luôn có:
(begin{array}{l}1){rm{ }}overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a \2){rm{ }}overrightarrow a (overrightarrow b pm overrightarrow c ) = overrightarrow a .overrightarrow b pm overrightarrow a .overrightarrow c \3){rm{ }}(koverrightarrow a )overrightarrow b = k(overrightarrow a .overrightarrow b ) = overrightarrow a (koverrightarrow b )\4){rm{ }}{overrightarrow a ^2} ge 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0 end{array})
