Tích vô hướng của hai véc tơ

1. Định nghĩa

a) Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $o v e r r i g h t a r r o w a$ và $o v e r r i g h t a r r o w b$ đều khác $o v e r r i g h t a r r o w 0$ . Khi đó:

Góc giữa hai véc tơ $o v e r r i g h t a r r o w a, o v e r r i g h t a r r o w b$ , kí hiệu $l e f t (o v e r r i g h t a r r o w a; o v e r r i g h t a r r o w b r i g h t$ ) và $l e f t (o v e r r i g h t a r r o w a; o v e r r i g h t a r r o w b r i g h t$ = left $o v e r r i g h t a r r o w O A, o v e r r i g h t a r r o w O B r i g h t$ = widehat {AOB}).

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Tính góc giữa hai véc tơ:

a. $o v e r r i g h t a r r o w B A$ và $o v e r r i g h t a r r o w B C$

b. $o v e r r i g h t a r r o w C A$ và $o v e r r i g h t a r r o w B C$

Giải:

Vì tam giác $ABC$ vuông cân nên góc $A$ bằng $90^0$ và góc $B$ bằng góc $C$ bằng $45^0$.

a. Ta có: $l e f t (o v e r r i g h t a r r o w B A, o v e r r i g h t a r r o w B C r i g h t$ = widehat {ABC} = {45^0})

b. Dựng véc tơ $o v e r r i g h t a r r o w C D = o v e r r i g h t a r r o w B C$ thì $l e f t (o v e r r i g h t a r r o w C A, o v e r r i g h t a r r o w B C r i g h t$ = left $o v e r r i g h t a r r o w C A, o v e r r i g h t a r r o w C D r i g h t$ = widehat {ACD} = {135^0})

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai véc tơ $o v e r r i g h t a r r o w a$ và $o v e r r i g h t a r r o w b$ là một số thực được xác định bởi: $o v e r r i g h t a r r o w a . o v e r r i g h t a r r o w b = l e f t | o v e r r i g h t a r r o w a r i g h t | l e f t | o v e r r i g h t a r r o w b r i g h t | . c o s l e f t (o v e r r i g h t a r r o w a, o v e r r i g h t a r r o w b r i g h t$ ).

Ví dụ 2: Với các giả thiết ở ví dụ 1 và cho thêm $AB=AC=1$, tính $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} $.

Giải:

Ta có: $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} = left| {overrightarrow {BA} } right|.left| {overrightarrow {BC} } right|.cos left $o v e r r i g h t a r r o w B A, o v e r r i g h t a r r o w B C r i g h t$ $

Mà $left| {overrightarrow {BA} } right| = BA = 1$, $left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = sqrt 2 $, $left $o v e r r i g h t a r r o w B A, o v e r r i g h t a r r o w B C r i g h t$ = widehat {ABC} = {45^0}$ nên:

$overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} = 1.sqrt 2 .cos {45^0} = sqrt 2 .dfrac{{sqrt 2 }}{2} = 1$.

Vậy $overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} =1$

2. Tính chất

Với ba véc tơ bất kì $o v e r r i g h t a r r o w a, o v e r r i g h t a r r o w b, o v e r r i g h t a r r o w c$ và mọi số thực $k$ ta luôn có:

$b e g i n a r r a y l 1$ {rm{ }}overrightarrow a .overrightarrow b = overrightarrow b .overrightarrow a \2){rm{ }}overrightarrow a $o v e r r i g h t a r r o w b p m o v e r r i g h t a r r o w c$ = overrightarrow a .overrightarrow b pm overrightarrow a .overrightarrow c \3){rm{ }} $k o v e r r i g h t a r r o w a$ overrightarrow b = k $o v e r r i g h t a r r o w a . o v e r r i g h t a r r o w b$ = overrightarrow a $k o v e r r i g h t a r r o w b$ \4){rm{ }}{overrightarrow a ^2} ge 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0 end{array})