Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

1. Các kiến thức cần nhớ

Hình minh họa

Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $left$Pright$$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

$a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$$\ast$

+) Phương trình $\ast$ có hai nghiệm phân biệt  $left$Delta>0right$$thì $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình $\ast$ có nghiệm kép  $left$Delta=0right$$thì $d$ tiếp xúc với $left$Pright$$.

+) Phương trình $\ast$ vô nghiệm  $left$Delta<0right$$thì $d$ không cắt $left$Pright$$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Xác định số giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left$Pright$:y = a{x^2}$$left$ane0right$.$

Phương pháp:

Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $left$Pright$$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

$a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$$\ast$

+) Phương trình $\ast$ có hai nghiệm phân biệt  $left$Delta>0right$$thì $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt

+) Phương trình $\ast$ có nghiệm kép  $left$Delta=0right$$thì $d$ tiếp xúc với $left$Pright$$.

+) Phương trình $\ast$ vô nghiệm  $left$Delta<0right$$thì $d$ không cắt $left$Pright$$

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left$Pright$:y = a{x^2}$$left$ane0right$.$

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $a{x^2} = mx + n Leftrightarrow a{x^2} – mx – n = 0$$\ast$

Giải phương trình $\ast$ tìm được $x$ suy ra $y$ . Tọa độ giao điểm là $left$x;yright$$.

Dạng 3: Xác định tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $left$Pright$:y = a{x^2}$$left$ane0right$$ cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .

Phương pháp:

+) Đường thẳng $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình $\ast$ có hai nghiệm âm phân biệt $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S < 0\P > 0end{array} right.$

+) Đường thẳng $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt cùng nằm bên phải trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình $\ast$ có hai nghiệm dương phân biệt $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta  > 0\S > 0\P > 0end{array} right.$

+) Đường thẳng $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm phân biệt nằm khác phía trục tung $ Leftrightarrow $ phương trình $\ast$ có hai nghiệm trái dấu $ Leftrightarrow ac < 0$

+) Đường thẳng $d$ cắt $left$Pright$$ tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước $thườngbiếnđổibiểuthứcđểsửdụnghệthứcVi-et$

Dạng 4: Bài toán liên quan đến diện tích tam giác, diện tích hình thang và chiều cao.

Phương pháp:

Ta vận dụng linh hoạt các cách phân chia diện tích và công thức tính diện tích tam giác, hình thang để làm bài.