Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Công thức tích phân từng phần:

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)lnleft(ax+bright)dx$  $trongđó(fleft(xright$) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln left$ax+bright$\dv = fleft$xright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\v = int {fleft$xright$dx} end{array} right.)

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)lnleft(ax+bright)dx=left.uvright{|}_m^n–intlimit{s}_m^{n}vdu$

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_1^e {xln x{rm{d}}x.} $

Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dx}}{x}\v = dfrac{{{x^2}}}{2}end{array} right.$

Khi đó $I = dfrac{{{x^2}ln x}}{2}left| begin{array}{l}^e\_1end{array} right. – dfrac{1}{2}intlimits_1^e x  = dfrac{{{e^2}}}{2} – dfrac{{{x^2}}}{4}left| begin{array}{l}^e\_1end{array} right. = dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)e^{ax+b}dx$. $trongđó(fleft(xright$) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v = dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}end{array} right.)

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)e^{ax+b}dx=left.uvright{|}_m^n–intlimit{s}_m^{n}vdu$

Ví dụ: Tính $I=intlimit{s}_0^{1}left(2x+3right)e^{x}rmdx$

Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = 2x + 3\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = 2dx\v = {e^x}end{array} right.$

Khi đó $I = left. {left$2x+3right${e^x}} right|_0^1 – intlimits_0^1 {2{e^x}dx}  = left. {left$2x+3right${e^x}} right|_0^1 – left. {2{e^x}} right|_0^1 = 3e – 1.$

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)sinleft(ax+bright)dx$ hoặc $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)cosleft(ax+bright)dx$. $trongđó(fleft(xright$) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = sin left$ax+bright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v =  – dfrac{1}{a}cos left$ax+bright$end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = cos left$ax+bright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v = dfrac{1}{a}sin left$ax+bright$end{array} right.)

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)sinleft(ax+bright)dx=left.uvright{|}_m^n–intlimit{s}_m^{n}vdu$ hoặc $intlimit{s}_m^{n}fleft(xright)cosleft(ax+bright)dx=left.uvright{|}_m^n–intlimit{s}_m^{n}vdu$

Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {xsin 2x{rm{d}}x} $

Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin 2xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v =  – dfrac{{cos 2x}}{2}end{array} right..$

Khi đó $I =  – dfrac{{xcos 2x}}{2}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. + dfrac{1}{2}intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {cos 2xdx}  =  – dfrac{{xcos 2x}}{2}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. + dfrac{{sin 2x}}{4}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. = dfrac{1}{4}.$

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân $intlimit{s}_m^n{e}^{ax+b}sinleft(cx+dright)dx$ hoặc $intlimit{s}_m^n{e}^{ax+b}cosleft(cx+dright)dx$.

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = sin left$cx+dright$dxend{array} right.)  hoặc (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = cos left$cx+dright$dxend{array} right.)

– Bước 2: Tính tích phân theo công thức $intlimit{s}_m^{n}udv=left.uvright{|}_m^n–intlimit{s}_m^{n}vdu$

Ví dụ: Tính $K = intlimits_0^pi  {{e^x}cos 2x{rm{d}}x} $

Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = cos 2x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du =  – 2sin 2xdx\v = {e^x}end{array} right.$

Suy ra $K = left$e^{x}cos2xright$left| {begin{array}{*{20}{c}}{^pi }\{_0}end{array}} right. + 2intlimits_0^pi  {{e^x}sin 2xdx}  = {e^pi } – 1 + 2M$

Tính $M = intlimits_0^pi  {{e^x}sin 2xdx} $

Ta đặt $left{ begin{array}{l}{u_1} = sin 2x\d{v_1} = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}d{u_1} = 2cos 2x\{v_1} = {e^x}end{array} right.$

Suy ra $M = left$e^{x}sin2xright$left| {begin{array}{*{20}{c}}{^pi }\{_0}end{array}} right. – 2intlimits_0^pi  {{e^x}cos 2x}  =  – 2K$

Khi đó $K = {e^pi } – 1 + 2left$–2Kright$ Leftrightarrow 5K = {e^pi } – 1 Leftrightarrow K = dfrac{{{e^pi } – 1}}{5}$