Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

– Công thức nguyên hàm từng phần: $intudv=uv–intvdu$

Tính nguyên hàm $intfleft(xright)dx=intgleft(xright).hleft(xright)dx$

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = gleft$xright$\dv = hleft$xright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = g’left$xright$dx\v = int {hleft$xright$dx} end{array} right.) $(vleft(xright$) là một nguyên hàm của $hleft(xright$))

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $intfleft(xright)dx=uv–intvdu$

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm $intfleft(xright)lnleft(ax+bright)dx$ với $f$x$$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln left$ax+bright$\dv = fleft$xright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\v = int {fleft$xright$dx} end{array} right.)

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $intfleft(xright)lnleft(ax+bright)dx=uv–intvdu$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $fleft$xright$ = xln x$

Giải: Ta có $Fleft$xright$ = int {fleft$xright$dx}  = int {xln xdx} $.

Đặt $left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dx}}{x}\v = dfrac{{{x^2}}}{2}end{array} right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$Fleft$xright$ = dfrac{1}{2}{x^2}ln x – dfrac{1}{2}int {xdx}  = dfrac{1}{2}{x^2}ln x – dfrac{1}{4}{x^2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $intfleft(xright)e^{ax+b}dx$ với $f$x$$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v = dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}end{array} right.)

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $intfleft(xright)e^{ax+b}dx=uv–intvdu$

Ví dụ: Tính $I = int {x{e^x}{rm{d}}x} $

Giải:

Đặt $left{ begin{array}{l}u = x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v = {e^x}end{array} right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = int {x{e^x}dx}  = x{e^x} – int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} – int {dleft$e^{x}right$}  = x{e^x} – {e^x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm $intfleft(xright)sinleft(ax+bright)dx$ hoặc $intfleft(xright)cosleft(ax+bright)dx$.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = sin left$ax+bright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v =  – dfrac{1}{a}cos left$ax+bright$end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = fleft$xright$\dv = cos left$ax+bright$dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left$xright$dx\v = dfrac{1}{a}sin left$ax+bright$end{array} right.)

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $intfleft(xright)sinleft(ax+bright)dx=uv–intvdu$ hoặc $intfleft(xright)cosleft(ax+bright)dx=uv–intvdu$

Ví dụ: Tính $I=intxsinxdx$

Giải:

Đặt (left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v =  – cos xend{array} right.)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=–xcosx+intcosxdx=–xcosx+sinx+C$

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $int{e}^{ax+b}sinleft(cx+dright)dx$ hoặc $int{e}^{ax+b}cosleft(cx+dright)dx$.

– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = sin left$cx+dright$\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right.)  hoặc (left{ begin{array}{l}u = cos left$cx+dright$\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right.)

– Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $uv–intvdu$.

Lưu ý:

– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

– Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = sin left$cx+dright$dxend{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = cos left$cx+dright$dxend{array} right.)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = int {sin x.{e^x}{rm{d}}x} $

Giải:

Đặt (left{ begin{array}{l}u = sin x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = cos xdx\v = {e^x}end{array} right.).

Khi đó $I=e^{x}sinx–intcosx{e}^{x}dx=e^{x}sinx–J$

Tính $J=intcosx{e}^{x}dx$. Đặt (left{ begin{array}{l}u = cos x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du =  – sin xdx\v = {e^x}end{array} right.)

Suy ra $J=e^{x}cosx+intsinx{e}^{x}dx=e^{x}cosx+I.$

Do đó $I=e^{x}sinx–J=e^{x}sinx–left(e^{x}cosx+Iright$ Leftrightarrow 2I = {e^x}sin x – {e^x}cos x)

Vậy $I=dfrac12left(e^{x}sinx–e^{x}cosxright$ + C)