Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

– Vi phân:

$b e g i n a r r a y l t = u l e f t (x r i g h t$ Rightarrow dt = u’left $x r i g h t$ dx\uleft $t r i g h t$ = vleft $x r i g h t$ Rightarrow u’left $t r i g h t$ dt = v’left $x r i g h t$ dxend{array})

– Công thức đổi biến: $i n t l i m i t s_{a}^{b} f l e f t [u l e f t (x r i g h t) r i g h t] u^{'} l e f t (x r i g h t) d x = i n t l i m i t s_{t l e f t (a r i g h t)}^{t l e f t (b r i g h t)} f l e f t (t r i g h t) d t$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $t = u l e f t (x r i g h t$ ).

– Bước 1: Đặt $t = u l e f t (x r i g h t$ ), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = uleft $a r i g h t$ = a’\x = b Rightarrow t = uleft $b r i g h t$ = b’end{array} right.) .

– Bước 2: Tính vi phân $d t = u^{'} l e f t (x r i g h t$ dx).

– Bước 3: Biến đổi $f l e f t (x r i g h t$ dx) thành $g l e f t (t r i g h t$ dt).

– Bước 4: Tính tích phân $i n t l i m i t s_{a}^{b} f l e f t (x r i g h t) d x = i n t l i m i t s_{a^{'}}^{b^{'}} g l e f t (t r i g h t) d t$ .

Ví dụ: Tính tích phân $i n t l i m i t s_{0}^{s q r t 3} 2 x s q r t x^{2} + 1 d x$ .

Giải:

Đặt $t = s q r t x^{2} + 1 R i g h t a r r o w t^{2} = x^{2} + 1$ $R i g h t a r r o w 2 t d t = 2 x d x$ .

Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1\x = sqrt 3 Rightarrow t = 2end{array} right.)

Do đó: $i n t l i m i t s_{0}^{s q r t 3} 2 x s q r t x^{2} + 1 d x = i n t l i m i t s_{1}^{2} t .2 t d t = l e f t . d f r a c 23 t^{3} r i g h t |_{1}^{2} = d f r a c 23 l e f t (2^{3} - 1^{3} r i g h t$ = dfrac{{14}}{3}).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $x = u l e f t (t r i g h t$ ).

– Bước 1: Đặt $x = u l e f t (t r i g h t$ ), đổi cận (left{ begin{array}{l}x = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’end{array} right.).

– Bước 2: Lấy vi phân 2 vế $d x = u^{'} l e f t (t r i g h t$ dt).

– Bước 3: Biến đổi $f l e f t (x r i g h t$ dx = fleft $u l e f t (t r i g h t) r i g h t$ .u’left $t r i g h t$ dt = gleft $t r i g h t$ dt).

– Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức $i n t l i m i t s_{a}^{b} f l e f t (x r i g h t) d x = i n t l i m i t s_{a^{'}}^{b^{'}} g l e f t (t r i g h t) d t$

Ví dụ: Cho $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x} $, nếu đặt $x = sin t$ thì:

A. $I = 2intlimits_0^1 {left $1 + c o s 2 t r i g h t$ {rm{d}}t} $

B. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 – cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

C. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

D. $I = intlimits_0^1 {dfrac{{cos 2t – 1}}{2}{rm{d}}t} $

Giải:

Đặt $x = sin t Leftrightarrow dx = cos t,dt$ và $1 – {x^2} = 1 – {sin ^2}t = {cos ^2}t$

Đổi cận (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0\x = dfrac{pi }{2} Rightarrow t = 1end{array} right.)

Suy ra

$I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {sqrt {1 – {x^2}} {rm{d}}x} = intlimits_0^1 {sqrt {{{cos }^2}t} cos t{rm{d}}t} $ $= intlimits_0^1 {{{cos }^2}t{rm{d}}t} = intlimits_0^1 {dfrac{{1 + cos 2t}}{2}{rm{d}}t} $

Chọn C.

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

2. Một số dạng toán thường gặp

Bài Viết cùng chủ đề

Toán 8

Toán 7

Toán 6

Yến, tạ, tấn. Bảng đơn vị đo khối lượng

Xem đồng hồ

Xăng-ti-mét. Đo độ dài. Vẽ đoạn thẳng có độ dài cho trước.

Viết số thành tổng các trăm, chục, đơn vị.

Viết các số đo khối lượng dưới dạng số thập phân

Viết các số đo độ dài dưới dạng số thập phân

Để lại một bình luận Hủy