1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (K) ((K) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là đồng biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) < fleft( {{x_2}} right))
– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là nghịch biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)).
Định lý:
a) Nếu (f’left( x right) > 0,forall x in K) thì hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (K)
b) Nếu (f’left( x right) < 0,forall x in K) thì hàm số (y = fleft( x right)) nghịch biến trên (K)
Định lý mở rộng:Giả sử hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (K)
a) Nếu (f’left( x right) ge 0,forall x in K) và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (K)
b) Nếu (f’left( x right) le 0,forall x in K) và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (K)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
– Bước 2: Tính đạo hàm (f’left( x right)), tìm các điểm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) mà tại đó đạo hàm bằng (0) hoặc không xác định.
– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà (f’left( x right) > 0) là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà (f’left( x right) < 0) là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.
Ta có $y’ = 8{x^3},y’ > 0 Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $left( {0; + infty } right)$
(y’ < 0 Leftrightarrow x < 0) nên hàm số đã cho nghịch biến trên (left( { – infty ;0} right))
Một số trường hợp đặc biệt:
Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên $mathbb{R}$ .
Phương pháp:
– Bước 1: Tính $f’left( x right)$.
– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $mathbb{R}$ $ Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0,forall x in$ $mathbb{R}$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ $ Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0,forall x in$ $mathbb{R}$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.
– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số (m) sao cho hàm số (y = dfrac{1}{3}{x^3} – left( {m + 1} right){x^2} – left( {2m + 3} right)x + 2017) đồng biến trên $mathbb{R}$ ).
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên (mathbb{R}) ( Leftrightarrow y’ = {x^2} – 2(m + 1)x – (2m + 3) ge 0) ({rm{ }}forall x in mathbb{R}.)
( Leftrightarrow Delta ‘ = {(m + 1)^2} + (2m + 3) le 0 ) (Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 le 0 ) $Leftrightarrow {{(m+2)}^{2}}le 0Leftrightarrow m+2=0$ $Leftrightarrow m=-2$
Cho hàm số $fleft( x right) = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)$. Khi đó:
$begin{gathered}fleft( x right) geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a > 0 hfill \Delta leqslant 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \fleft( x right) leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a < 0 hfill \Delta leqslant 0 hfill \end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $
Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0, forall x in D$.
+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0, forall x in D$.
– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
– Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m geqslant gleft( x right),forall x in D$ hoặc $m leqslant gleft( x right),forall x in D$.
– Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = gleft( x right)$ trên $D$.
– Kết luận: $begin{gathered}m geqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m geqslant mathop {max }limits_D gleft( x right) hfill \m leqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m leqslant mathop {min }limits_D gleft( x right) hfill \ end{gathered} $
– Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm m để hàm số (y = dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( {alpha ;beta } right))
– Bước 1: Tính (y’).
– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) > 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)
+ Hàm số nghịch biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) < 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)
– Bước 3: Kết luận.
