1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Cho hàm số ) xác định trên ( có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
– Hàm số ) được gọi là đồng biến trên nếu < fleft)
– Hàm số ) được gọi là nghịch biến trên nếu > fleft).
Định lý:
Cho hàm số ) xác định và có đạo hàm trên
a) Nếu > 0,forall x in K) thì hàm số ) đồng biến trên
b) Nếu < 0,forall x in K) thì hàm số ) nghịch biến trên
Định lý mở rộng:Giả sử hàm số ) có đạo hàm trên
a) Nếu ge 0,forall x in K) và = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên
b) Nếu le 0,forall x in K) và = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
– Bước 2: Tính đạo hàm ), tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng hoặc không xác định.
– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà > 0) là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà < 0) là các khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = 2{x^4} + 1$.
Ta có $y’ = 8{x^3},y’ > 0 Leftrightarrow x > 0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $left$
nên hàm số đã cho nghịch biến trên )
Một số trường hợp đặc biệt:
Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên $mathbb{R}$ .
Phương pháp:
– Bước 1: Tính $f’left$.
– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số $y = fleft$ đồng biến trên $mathbb{R}$ $ Leftrightarrow y’ = f’left geqslant 0,forall x in$ $mathbb{R}$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.
+ Hàm số $y = fleft$ nghịch biến trên $mathbb{R}$ $ Leftrightarrow y’ = f’left leqslant 0,forall x in$ $mathbb{R}$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.
– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số {x^2} – leftx + 2017) đồng biến trên $mathbb{R}$ ).
Giải: Hàm số đã cho đồng biến trên x – ge 0)
le 0 ) $Leftrightarrow {{}^{2}}le 0Leftrightarrow m+2=0$ $Leftrightarrow m=-2$
Cho hàm số $fleft = a{x^2} + bx + cleft$. Khi đó:
$begin{gathered}fleft geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a > 0 hfill \Delta leqslant 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \fleft leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a < 0 hfill \Delta leqslant 0 hfill \end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $
Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:
+ Hàm số $y = fleft$ đồng biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left geqslant 0, forall x in D$.
+ Hàm số $y = fleft$ nghịch biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left leqslant 0, forall x in D$.
– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
– Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m geqslant gleft,forall x in D$ hoặc $m leqslant gleft,forall x in D$.
– Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = gleft$ trên $D$.
– Kết luận: $begin{gathered}m geqslant gleft,forall x in D Rightarrow m geqslant mathop {max }limits_D gleft hfill \m leqslant gleft,forall x in D Rightarrow m leqslant mathop {min }limits_D gleft hfill \ end{gathered} $
– Bước 3: Kết luận.
Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng )
– Bước 1: Tính .
– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Hàm số đồng biến trên Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left > 0,forall x in left\ – dfrac{d}{c} notin leftend{array} right.)
+ Hàm số nghịch biến trên Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left < 0,forall x in left\ – dfrac{d}{c} notin leftend{array} right.)
– Bước 3: Kết luận.
