Số e và logarit tự nhiên

a) Logarit tự nhiên

Định nghĩa:

Logarit cơ số $e$ của 1 số dương $a$ được gọi là logarit tự nhiên $logaritNê-pe$ của số $a$ và kí hiệu là $lna$.

$lna=bLeftrightarrowa=e^{b}left(a>0right$;e approx 2,71828…)

Tính chất:

Lôgarit tự nhiên có đầy đủ tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

b) Công thức lãi kép liên tục $hoặccôngthứctăngtrưởngmũ$

$T=A.e^{Nr}$, ở đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất, $N$ là số kì hạn.

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức logarit tự nhiên.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi các biểu thức có chứa $ln$ sử dụng những tính chất của logarit tự nhiên.

– Bước 2: Thực hiện tính toán dựa vào thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $to$ lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh các biểu thức có chứa logarit tự nhiên.

Phương pháp:

– Bước 1: Đơn giản các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng tính chất của logarit và logarit tự nhiên.

– Bước 2: So sánh các biểu thức sau khi đơn giản, sử dụng một số tính chất của so sánh logarit.

Dạng 3: Biểu diễn một logarit hoặc rút gọn biểu thức có chứa logarit qua các logarit đã cho.

Phương pháp:

– Bước 1: Tách biểu thức cần biểu diễn ra để xuất hiện các logarit đề bài cho bằng cách sử dụng các tính chất của logarit.

– Bước 2: Thay các giá trị bài cho vào và rút gọn sử dụng thứ tự thực hiện phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $to$ lũy thừa $cănbậc(n$) $to$ nhân, chia $to$ cộng, trừ.

Dạng 4: Bài toán lãi kép liên tục.

Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất $r$ theo năm, tính số tiền có được sau $N$ năm.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tăng trưởng mũ:

$T=A.e^{Nr}$, ở đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất, $N$ là số kì hạn.